DETERMINE O CONJUNTO SOLUÇÃO
3^x-1-33^x+1=4 cdot 3^1-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação exponencial 3^x-1 - 33^x+1 = 4 cdot 3^1-3x. Esse tipo de equação utiliza propriedades das potências com a mesma base. Vamos precisar lembrar como manipular expoentes e simplificar expressões para encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da equação. Note que 33^x+1 pode ser reescrita usando propriedades das potências:
33^x+1 = 3^1 cdot 3^-(x+1) = 3^1 - (x+1) = 3^-x
Então, a equação fica:
3^x-1 - 3^-x = 4 cdot 3^1-3x

Passo 3

Agora, vamos tentar escrever todos os termos com a mesma base e com expoentes que possam ser comparados. Observamos que 3^1-3x pode ser manipulado:
4 cdot 3^1-3x = 4 cdot 3^1 cdot 3^-3x = 4 cdot 3 cdot 3^-3x = 12 cdot 3^-3x
Então, a equação fica:
3^x-1 - 3^-x = 12 cdot 3^-3x

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Perceba que 3^x-1 = 3^x3. Então:
3^x3 - 3^-x = 12 cdot 3^-3x
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
3^x - 3^1 - x = 36 cdot 3^-3x

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja y = 3^x. Então, 3^-x = 1y e 3^-3x = 1y^3. Substituindo na equação:
y - 3y = 36y^3

Passo 6

Multiplicamos todos os termos por y^3 para eliminar os denominadores:
y^4 - 3y^2 = 36
Reorganizando:
y^4 - 3y^2 - 36 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação polinomial de quarto grau em y. Vamos fazer outra substituição: seja z = y^2. Então, a equação fica:
z^2 - 3z - 36 = 0

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
z = 3 pm raiz9 + 1442 = 3 pm raiz1532
raiz153 = 12.369
Então:
z = 3 + 12.3692 approx 7.684 ou z = 3 - 12.3692 approx -4.684
Como z = y^2 e y^2 não pode ser negativo, descartamos z approx -4.684. Então, z approx 7.684.

Passo 9

Retornando à substituição z = y^2:
y^2 approx 7.684 implies y approx raiz7.684 approx 2.772
Lembrando que y = 3^x, temos:
3^x approx 2.772

Passo 10

Para encontrar x, aplicamos o logaritmo na base 3 em ambos os lados:
x = log3(2.772)
Calculando:
x approx ln(2.772)ln(3) approx 1.0171.0986 approx 0.927

Resposta

O conjunto solução é x approx 0.927 .

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