Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
(d) integral triplaW a d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 1, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaW a ,dx,dy,dz sobre o hemisfério x^2+y^2+z^2<=1 com x>=0. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e cálculo de volume multiplicado pela constante a.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ e o elemento de volume dV=ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ. A região W vira:
  • 0<=ρ<=1
  • 0<=φ<=π
  • Condição x>=0 implica cosθ>=0, ou seja -tfracπ2<=θ<=tfracπ2.

Passo 3

A integral fica:
integral triplaW a,dV = integralθ=-π2^π2 integralφ=0^π integralρ=0^1 a,ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ
Agora separamos as integrais de ρ, φ e θ:
- integralρ=0^1 ρ^2,dρ = l[ρ^33r]0^1 = 13
- integralφ=0^π sinφ,dφ = l[-cosφr]0^π = 2
- integralθ=-π2^π2 dθ = π

Passo 4

Multiplicando tudo:
integral triplaW a,dV = a times 13 times 2 times π = 23πa

Resposta

tfrac23,π,a

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