Determine x para que a série abaixo seja convergente.
sumn=0^+infty(-1)^n cdot x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que depende de x e queremos descobrir para quais valores de x essa série converge, ou seja, soma finitamente. A matéria envolvida aqui é Séries Infinitas, mais especificamente sobre testes de convergência. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. A série é:
sumn=0^+infty (-1)^n cdot x^2n+1(2n+1)!
Aqui, o termo geral an é (-1)^n cdot x^2n+1(2n+1)!.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência da série. Esse teste diz que se o limite:
L = limn to +infty | an+1an |
for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (-1)^n+1 cdot x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n cdot x^2n+1(2n+1)! = (-1) cdot x^2n+3(2n+3)! cdot (2n+1)!x^2n+1
Simplificando, temos:
an+1an = - cdot x^2(2n+2)(2n+3)
Mas como vamos considerar o módulo, o sinal negativo desaparece:
| an+1an | = x^2(2n+2)(2n+3)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to +infty x^2(2n+2)(2n+3) = limn to +infty x^24n^2 + 10n + 6
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite é 0.

Passo 6

Como L = 0 e 0 é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

A série converge para todo número real x, ou seja, para qualquer x in R.

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