Sendo dadas a parábola
e a reta
, calcule o momento de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
Passo 1
O enunciado pede os momentos de inércia de uma lâmina uniforme (densidade igual a 1) na região limitada pela parábola
e pela reta
O que precisamos é calcular
e o momento polar
Passo 2
Primeiro, determinamos a região
. Da parábola temos
e da reta temos
. Para achar as interseções, igualamos
logo
ou
. Os pontos de interseção são
e
. Assim, para cada
em
,
varia de
até
.
Passo 3
Para
temos
Expandindo o integrando,
e integrando de
a
obtemos
Passo 4
Para
escrevemos
Calculando e simplificando o polinômio interior, depois integrando termo a termo de
a
, chega-se a
Passo 5
O momento polar em relação à origem é