Sendo dadas a parábola y^2=x+1 e a reta x+y=1, calcule o momento de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia de uma lâmina uniforme (densidade igual a 1) na região limitada pela parábola
y^2 = x + 1
e pela reta
x + y = 1
O que precisamos é calcular
Ix = integral duplaR y^2,dA, Iy = integral duplaR x^2,dA,
e o momento polar
IO = integral duplaR (x^2 + y^2),dA = Ix + Iy

Passo 2

Primeiro, determinamos a região R. Da parábola temos x = y^2 - 1 e da reta temos x = 1 - y. Para achar as interseções, igualamos
y^2 - 1 = 1 - y Longrightarrow y^2 + y - 2 = 0 Longrightarrow (y-1)(y+2)=0,
logo y=1 ou y=-2. Os pontos de interseção são (0,1) e (3,-2). Assim, para cada y em [-2,1], x varia de x=y^2-1 até x=1-y.

Passo 3

Para Ix temos
Ix = integraly=-2^1!integralx=y^2-1^,1-y y^2,dx,dy = integral-2^1 y^2l[(1-y)-(y^2-1)r],dy = integral-2^1 y^2,(2 - y - y^2),dy
Expandindo o integrando,
2y^2 - y^3 - y^4,
e integrando de -2 a 1 obtemos
Ix = [23y^3 - 14y^4 - 15y^5]-2^1 = 6320

Passo 4

Para Iy escrevemos
Iy = integral-2^1!integraly^2-1^,1-y x^2,dx,dy = integral-2^1 (1-y)^3 - (y^2-1)^33,dy
Calculando e simplificando o polinômio interior, depois integrando termo a termo de -2 a 1, chega-se a
Iy = 729140

Passo 5

O momento polar em relação à origem é
IO = Ix + Iy = 6320 + 729140 = 11714

Resposta

Ix = dfrac6320, Iy = dfrac729140, IO = dfrac11714

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