Determine o conjunto solução das equações abaixo:
(a) log 2 x=5
(g) log 4 1=x
(m) ln (x-1)+ln (x-2)=0
(b) log 2 16=x
(h) log 4 2=x
(c) log 8 x=13
(i) log 3 243=x
(d) log 0.1=x
(j) log x-log 2=100
(e) log 3 243=x
(k) ln x^2-ln 2 x=5
(n) ln x+ln 2 x=2
(o) e^2 x+5 e^x=6
(l) log 4 x^2-log 4 3=32
§ e^2 x-e^x-20=0
(f) log 3 x=3
(q) 3^x x^3+8 x^3=0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto–solução de várias equações em uma incógnita, envolvendo logaritmos (com bases diversas), soma e diferença de logaritmos naturais, e equações exponenciais. Vamos usar as propriedades básicas de logaritmo (conversão para forma exponencial, soma e diferença de logs) e resolver as equações exponenciais por substituições adequadas.

Passo 2

Equações do tipo loga x = b ou loga b = x. Lembrando que o domínio exige x>0.
(a) &log2x = 5;Longrightarrow; x = 2^5 = 32, (b) &log216 = x;Longrightarrow;16 = 2^4;Longrightarrow;x = 4, (c) &log8x = tfrac13;Longrightarrow; x = 8^1/3 = 2, (d) &log 0,1 = x(base 10);Longrightarrow;10^x = 0,1;Longrightarrow;x = -1, (e) &log3243 = x;Longrightarrow;243 = 3^5;Longrightarrow;x = 5, (f) &log3x = 3;Longrightarrow;x = 3^3 = 27

Passo 3

Casos especiais:
(g) &log41 = x;Longrightarrow;4^x = 1;Longrightarrow;x = 0, (h) &log42 = x;Longrightarrow;x = tfrac12, (i) &log3243 = x(mesmo que (e));Longrightarrow;x = 5

Passo 4

Diferença de logaritmos:
(j) &log x - log 2 = 100;Longrightarrow;logx2 = 100;Longrightarrow;x2 = 10^100;Longrightarrow;x = 2cdot10^100, (l) &log4x^2 - log43 = tfrac32;Longrightarrow;log4x^23 = tfrac32;Longrightarrow;x^23 = 4^3/2=8;Longrightarrow;x^2=24;Longrightarrow;x=pm2raiz6
O domínio exige apenas x^2>0, então ambas as raízes funcionam.

Passo 5

Soma e diferença de logaritmos naturais:
(k) &ln x^2 - ln 2x = 5;Longrightarrow;lnx^22x = 5;Longrightarrow;lnx2=5;Longrightarrow;x2=e^5;Longrightarrow;x=2e^5;(x>0), (m) &ln(x-1)+ln(x-2)=0;Longrightarrow;lnl[(x-1)(x-2)r]=0;Longrightarrow;(x-1)(x-2)=1 ⟹x^2-3x+1=0;Longrightarrow;x=3pmraiz52;Domínio: x>2;Longrightarrow;x=3+raiz52, (n) &ln x + ln 2x = 2;Longrightarrow;ln(2x^2)=2;Longrightarrow;2x^2=e^2;Longrightarrow;x^2=tfrace^22;Longrightarrow;x=pm eraiz2 &Como x>0,;x= eraiz2 í

Passo 6

Equações exponenciais via t=e^x:
(o) &e^2x+5e^x=6;Longrightarrow;t^2+5t-6=0;Longrightarrow;t=1 ou t=-6;(descarta);Longrightarrow;e^x=1;Longrightarrow;x=0, (p) &e^2x-e^x-20=0;Longrightarrow;t^2 - t -20=0;Longrightarrow;t=5 ou -4;(descarta);Longrightarrow;e^x=5;Longrightarrow;x=ln5

Passo 7

Equação mista:
(q) 3^x x^3 + 8x^3 = 0;Longrightarrow;x^3l(3^x+8r)=0;Longrightarrow;x^3=0 (Rightarrow x=0);ou;3^x=-8 (sem solução real) çã

Resposta

(a) x = 32
(b) x = 4
(c) x = 2
(d) x = -1
(e) x = 5
(f) x = 27
(g) x = 0
(h) x = tfrac12
(i) x = 5
(j) x = 2cdot10^100
(k) x = 2e^5
(l) x = 2raiz6 ou x = -2raiz6
(m) x = tfrac3+raiz52
(n) x = tfrac eraiz2
(o) x = 0
§ x = ln 5
(q) x = 0

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