(Unicamp-2004) A função L(x)=a e^b x fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
(a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
(b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Passo 1

O enunciado dá a função de iluminação ,L(x)=a e^b x, em luxes, onde x é a distância em metros. Parte (a) pede para determinar as constantes a e b sabendo que L(1)=60 e L(2)=30. Parte (b) pede a distância x tal que L(x)=15. O conteúdo aqui é resolver um sistema exponencial e usar logaritmos.

Passo 2

Das condições temos
a e^bcdot1=60, a e^bcdot2=30

Passo 3

Dividindo a primeira equação pela segunda:
a e^ba e^2b = 6030 Longrightarrow e^-b=2 Longrightarrow -b=ln 2 Longrightarrow b=-ln 2
Substituindo em a e^b=60
a = 60e^b = 60 e^-b = 60 e^ln 2 = 60cdot 2 = 120

Passo 4

Para L(x)=15 usamos
120 e^(-ln 2),x = 15 Longrightarrow e^-xln 2 = 15120 = 18 Longrightarrow -,xln 2 = ln!18 = -3ln 2
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x = 3

Resposta

(a) a=120, b=-ln 2.
(b) x=3 metros.

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