Determine o conjunto solução das equações: 5^(2x) + 4 * 5^x - 5 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
Essa é uma equação exponencial, que envolve potências de 5 com expoentes que dependem de . Para resolver esse tipo de equação, vamos usar uma técnica chamada substituição para transformar a equação exponencial em uma equação do segundo grau, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação usando substituição. Vamos chamar . Isso significa que:
Substituindo isso na equação original, ficamos com:
Agora, nossa equação está no formato de uma equação quadrática: , onde , , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo os valores de , e :
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Passo 4

Agora, precisamos voltar à nossa substituição inicial, que foi . Isso nos dá duas equações para resolver:
Vamos analisar cada uma delas.
Para :
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
Para :
Aqui temos um problema: potências de números positivos (como 5) nunca resultam em um número negativo. Portanto, essa solução não é válida no contexto da nossa equação original.

Passo 5

Concluímos que a única solução válida para a nossa equação é .

Resposta

O conjunto solução da equação é .

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