Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
|x-5|=|3 x-1|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa aqui. A questão pede para resolver a equação |x - 5| = |3x - 1| e encontrar todas as raízes reais que satisfazem essa igualdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra, mais especificamente sobre valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. O valor absoluto de um número representa a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo positivo. Então, |a| = |b| significa que a e b têm a mesma distância até zero, ou seja, a = b ou a = -b .

Passo 3

Aplicando essa ideia à nossa equação |x - 5| = |3x - 1| , temos duas situações possíveis:
  1. x - 5 = 3x - 1
  2. x - 5 = -(3x - 1)
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
x - 5 = 3x - 1
Vamos isolar o x . Subtraímos x de ambos os lados:
-5 = 2x - 1
Agora, adicionamos 1 em ambos os lados:
-4 = 2x
Por fim, dividimos ambos os lados por 2:
x = -2

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação:
x - 5 = -(3x - 1)
Primeiro, distribuímos o sinal negativo:
x - 5 = -3x + 1
Vamos somar 3x em ambos os lados:
4x - 5 = 1
Agora, adicionamos 5 em ambos os lados:
4x = 6
Dividimos por 4:
x = 64
Simplificando, temos:
x = 32

Resposta

As raízes reais que satisfazem a equação |x - 5| = |3x - 1| são:
x = -2 e x = 32

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