Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-x^2+4 x-4

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
f(x) = -x^2 + 4x - 4
Conteúdo: análise de parábola (coeficiente principal, concavidade), cálculo de vértice, e interceptos com os eixos.

Passo 2

Determinar a concavidade da parábola pelo coeficiente de x^2. Aqui o coeficiente é -1<0, logo a parábola abre para baixo (concavidade para baixo), indicando um ponto de máximo.

Passo 3

Calcular o vértice (xv,yv). A abscissa do vértice é
xv = -b2a = -42cdot(-1) = 2
O valor de yv é
yv = f(2) = -(2)^2 + 4cdot2 - 4 = -4 +8 -4 = 0
Portanto o vértice é (2,0) e é o ponto de máximo.

Passo 4

Encontrar interceptos:
1. Intercepto em x: resolver f(x)=0
-x^2 +4x -4 = 0 Longrightarrow x^2 -4x +4 =0 Longrightarrow (x-2)^2=0 Longrightarrow x=2
É raíz dupla em x=2, a parábola toca o eixo x somente em (2,0).
2. Intercepto em y: calcular f(0)
f(0) = -0^2 +4cdot0 -4 = -4,
logo cruza o eixo y em (0,-4).

Passo 5

Resumo da forma e domínio/contradomínio:
  • Eixo de simetria: x=2.
  • Vértice: (2,0), ponto de máximo com valor f(2)=0.
  • Somente uma interseção com o eixo x (raiz dupla).
  • Cruzamento com eixo y em (0,-4).
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: f(x)<=0.

Resposta

Segue um esboço aproximado (em ASCII) do gráfico de :
     y
  \(1,0\)|       *
     |      / \\
  \(0,0\)|-----*---\textbackslash-----   \leftarrow\ eixo\ x\ (v\'ertice\ em\ \(2,0\)\)
     |         \\
 -\(1,0\)|          \\
 -\(2,0\)|           \\
 -\(3,0\)|            \\
 -\(4,0\)|*            \\
     \(+\)----------------
      \(01234\)   x
     
  \(\bullet\) V\'ertice em \(2,0\)
  \(\bullet\) Cruzamento em y em \(0,-4\)
  \(\bullet\) Par\'abola sim\'etrica em x\(=2\), abre para baixo

Exercícios relacionados