Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é
sucessivamente dado por:
  1. (ll1 & 2 4 & 3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
dot x = A,x
com
A = 1 & 2[6pt]4 & 3
e, em seguida, calcular a matriz exponencial e^A t. O conteúdo-chave aqui é diagonalização de matrizes e uso da fórmula
e^A t ,=, P,e^D t,P^-1,
onde D é a matriz diagonal de autovalores de A e P a matriz de autovetores.]

Passo 2

Encontramos os autovalores lambda de A resolvendo
det(A - lambda I) =det!1-lambda & 2[4pt]4 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)-8 =lambda^2-4lambda-5=0
As raízes são
lambda = 4pmraiz16+202 = 4pm62,
isto é,
lambda1=5, lambda2=-1 ]

Passo 3

Para cada autovalor obtemos um autovetor:
– Se , resolvemos , dando
escolhendo .
– Se , resolvemos , dando
escolhendo .
Assim
e
]

Passo 4

Como A=PDP^-1 com
D=5&0[4pt]0&-1,
temos
e^A t = P,e^D t,P^-1 = 1 & 12 & -1 e^5t & 0[4pt]0 & e^-t tfrac13 & tfrac13[4pt]tfrac23 & -tfrac13
Fazendo o produto matricial, obtemos
e^A t =13 e^5t+2e^-t & e^5t-e^-t[6pt] 2l(e^5t-e^-tr) & 2e^5t+e^-t
Além disso, a solução geral do sistema é
x(t) =c1,e^5t12 +c2,e^-t1-1,
ou, de forma compacta, x(t)=e^A t,x(0).]

Resposta

x(t) = c1,e^5t12 + c2,e^-t1-1, e^A t =13 e^5t+2e^-t & e^5t-e^-t[6pt] 2l(e^5t-e^-tr) & 2e^5t+e^-t ]

Exercícios relacionados