Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule
, onde
é
sucessivamente dado por:
-
sucessivamente dado por:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
dot x = A,x
com
com
e, em seguida, calcular a matriz exponencial
e^A t . O conteúdo-chave aqui é diagonalização de matrizes e uso da fórmula
onde
D é a matriz diagonal de autovalores de
A e
P a matriz de autovetores.]
Passo 2
Encontramos os autovalores
lambda de
A resolvendo
As raízes são
isto é,
Passo 3
Para cada autovalor obtemos um autovetor:
– Se
, resolvemos
, dando
escolhendo
.
– Se
, resolvemos
, dando
escolhendo
.
Assim
e
Passo 4
Como
A=PDP^-1 com
temos
Fazendo o produto matricial, obtemos
Além disso, a solução geral do sistema é
ou, de forma compacta,
x(t)=e^A t,x(0) .]