Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
4 x^4-x^2=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação 4x^4 - x^2 = 0 e precisamos encontrar todas as raízes reais que a resolvem. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de álgebra, como fatoração e propriedades das equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação 4x^4 - x^2 = 0 tem termos com potências de x. Nosso objetivo é fatorar a expressão para facilitar a identificação das raízes. Vamos começar identificando o fator comum nos termos.

Passo 3

Veja que tanto 4x^4 quanto -x^2 têm x^2 como fator comum. Então, podemos fatorar x^2 dessa forma:
x^2 (4x^2 - 1) = 0
Agora, temos o produto de dois fatores igual a zero.

Passo 4

Para que o produto de dois fatores seja zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Então, temos duas possibilidades:
  1. x^2 = 0
  2. 4x^2 - 1 = 0
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.

Passo 5

Primeira possibilidade:
x^2 = 0
Para encontrar x, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x = 0
Então, uma das raízes é x = 0.

Passo 6

Segunda possibilidade:
4x^2 - 1 = 0
Vamos isolar x^2:
4x^2 = 1
x^2 = 14
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x = pm 12
Então, as outras raízes são x = 12 e x = -12.

Resposta

As raízes reais da equação 4x^4 - x^2 = 0 são:
x = -12, x = 0, x = 12

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