Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=12 x^2+x+1

Passo 1

Temos a tarefa de esboçar o gráfico da função quadrática
f(x)=12x^2+x+1
O conteúdo envolve saber que é uma parábola, determinar sua concavidade, vértice, eixo de simetria e interceptos para guiar o esboço.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral f(x)=ax^2+bx+c:
a=tfrac12, b=1, c=1
Como a=tfrac12>0, a parábola abre para cima.

Passo 3

O vértice (xv,yv) fica em
xv=-b2a=-12cdottfrac12=-1,
e
yv=f(-1)=tfrac12cdot(-1)^2+(-1)+1=tfrac12-1+1=tfrac12
Logo, o vértice é (-1,tfrac12). O eixo de simetria é a reta x=-1.

Passo 4

Intercepto em y (quando x=0):
f(0)=1,
isto é, passa por (0,1).
Para interceptos em x, resolvemos
12x^2+x+1=0
O discriminante é
De<a=b^2-4ac=1-4cdottfrac12cdot1=1-2=-1<0,
logo não há raízes reais e a parábola não cruza o eixo x.

Passo 5

Para ter mais pontos, escolhemos x=-2 e x=1 (simétricos em relação a x=-1):
f(-2)=tfrac12cdot4-2+1=2-2+1=1e f(1)=tfrac12cdot1+1+1=2,5
Assim, pontos extras são (-2,1) e (1,2,5).

Passo 6

Com vértice em (-1,tfrac12), pontos (-2,1), (0,1), (1,2,5) e abertura para cima, esboçamos uma curva suave passando por esses pontos, sem cruzar o eixo x.

Resposta

O gráfico é uma parábola com:
– concavidade para cima ( a=tfrac12>0);
– vértice em (-1,tfrac12);
– eixo de simetria x=-1;
– intercepto em y em (0,1);
– sem interceptos reais em x.
O esboço passa ainda por (-2,1) e (1,2,5).

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