Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução formado por raízes reais da equação
Informações relevantes fornecidas:
grau do polinômio:
(ou seja, até três raízes complexas contando multiplicidade), e o termo independente é
. A tarefa é encontrar todas as raízes reais (se existirem) desse polinômio.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): vamos procurar raízes racionais inteiras usando um resultado simples (explicado agora) e então reduzir o polinômio para um polinômio de grau menor (dividindo pelo fator correspondente) até chegar a uma equação quadrática ou linear que possamos resolver facilmente.
Explicação do teorema prático (Teorema das raízes racionais, versão simples):
Se um polinômio com coeficiente líder (monico) tem uma raiz racional
em forma reduzida, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Como aqui o coeficiente líder é
, quaisquer raízes racionais devem ser divisores inteiros do termo constante
. Logo os candidatos inteiros são
Se um polinômio com coeficiente líder
Vamos testar esses candidatos diretamente na função
.
Passo 3
Testando
:
Calcule passo a passo:
,
,
. Portanto
ou seja,
é uma raiz do polinômio. Ótimo — encontramos uma raiz inteira!
Passo 4
Como
é raiz, o polinômio é divisível por
. Agora vamos dividir o polinômio por
para obter o quociente de grau
. Vou usar o método da divisão sintética (Ruffini), que é rápido para raízes inteiras.
Coeficientes do polinômio:
. Aplicando divisão sintética com a raiz
:
- Trago o
para baixo (primeiro coeficiente do quociente). - Multiplico
(raiz) pelo valor trazido e somo ao próximo coeficiente: ; . - Multiplico
por : ; . - Multiplico
por : ; (resto).
A linha resultante dos coeficientes do quociente é
, que representa o polinômio quadrático
O resto é
, confirmado que a divisão é exata.
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática resultante
Método mais direto: fatoração procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
e
. Assim a fatoração é
Portanto as soluções da quadrática são as raízes de cada fator:
Observação alternativa (caso prefira a fórmula quadrática): a fórmula dá
que produz
e
, mesmas raízes.
Passo 6
Resumo dos passos de fatoração obtidos (sem repetir a resposta final): encontramos inicialmente a raiz
e, ao dividir por
, obtivemos o quadrático
, que fatorou como
, fornecendo as outras duas raízes.