Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução formado por raízes reais da equação
x^{3}-6x^{2}+11x-6=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{polinômio: }x^{3}-6x^{2}+11x-6,ô
grau do polinômio: \,3 (ou seja, até três raízes complexas contando multiplicidade), e o termo independente é -6. A tarefa é encontrar todas as raízes reais (se existirem) desse polinômio.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): vamos procurar raízes racionais inteiras usando um resultado simples (explicado agora) e então reduzir o polinômio para um polinômio de grau menor (dividindo pelo fator correspondente) até chegar a uma equação quadrática ou linear que possamos resolver facilmente.
Explicação do teorema prático (Teorema das raízes racionais, versão simples):
Se um polinômio com coeficiente líder 1 (monico) tem uma raiz racional \frac{p}{q} em forma reduzida, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Como aqui o coeficiente líder é 1, quaisquer raízes racionais devem ser divisores inteiros do termo constante -6. Logo os candidatos inteiros são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6.
Vamos testar esses candidatos diretamente na função f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.

Passo 3

Testando x=1:
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6.
Calcule passo a passo: 1-6=-5, -5+11=6, 6-6=0. Portanto
f(1)=0,
ou seja, \,x=1 é uma raiz do polinômio. Ótimo — encontramos uma raiz inteira!

Passo 4

Como \,x=1 é raiz, o polinômio é divisível por (x-1). Agora vamos dividir o polinômio por (x-1) para obter o quociente de grau 2. Vou usar o método da divisão sintética (Ruffini), que é rápido para raízes inteiras.
Coeficientes do polinômio: 1,\\\ -6,\\\ 11,\\\ -6. Aplicando divisão sintética com a raiz 1:
  • Trago o 1 para baixo (primeiro coeficiente do quociente).
  • Multiplico 1 (raiz) pelo valor trazido 1 e somo ao próximo coeficiente: 1\cdot 1 = 1; -6 + 1 = -5.
  • Multiplico 1 por -5: 1\cdot(-5) = -5; 11 + (-5) = 6.
  • Multiplico 1 por 6: 1\cdot 6 = 6; -6 + 6 = 0 (resto).
A linha resultante dos coeficientes do quociente é 1,\\\ -5,\\\ 6, que representa o polinômio quadrático
x^{2}-5x+6.
O resto é 0, confirmado que a divisão é exata.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática resultante
x^{2}-5x+6=0.
Método mais direto: fatoração procuramos dois números cujo produto seja 6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de x). Esses números são -2 e -3, pois (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5. Assim a fatoração é
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Portanto as soluções da quadrática são as raízes de cada fator:
x-2=0\implies x=2,\qquad x-3=0\implies x=3.
Observação alternativa (caso prefira a fórmula quadrática): a fórmula dá
x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2},
que produz x=3 e x=2, mesmas raízes.

Passo 6

Resumo dos passos de fatoração obtidos (sem repetir a resposta final): encontramos inicialmente a raiz x=1 e, ao dividir por (x-1), obtivemos o quadrático x^{2}-5x+6, que fatorou como (x-2)(x-3), fornecendo as outras duas raízes.

Resposta

\{1,2,3\}

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