Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
x^{2}-3 x+2=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução formado por raízes reais da equação
x^{2}-3x+2=0.
Informações dadas: trata-se de uma equação polinomial quadrática (grau 2) com coeficientes a=1, b=-3 e c=2. O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos usar o método de fatoração (o mais direto aqui). Primeiro, lembro uma identidade útil para quadráticas monicas (coeficiente principal a=1):
x^{2}+mx+n=(x+p)(x+q)
se, e somente se, p+q=m e pq=n. No nosso caso m=-3 e n=2. Então procuramos dois números p e q tais que
p+q=-3
e
pq=2.
Procuro pares de inteiros que multiplicam para 2: esses pares são 1 e 2 ou -1 e -2. Verifico as somas:
1+2=3\quad\text{(não serve, pois queremos \(-3\))},ã
-1+(-2)=-3\quad\text{(serve)}.
Portanto, p=-1 e q=-2.

Passo 3

Com p=-1 e q=-2 escrevo a fatoração:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Para checar, vou expandir rapidamente (apenas para confirmar):
(x-1)(x-2)=x^{2}-2x-1x+2=x^{2}-3x+2,
que coincide com o polinômio dado.

Passo 4

Agora aplico a propriedade do produto nulo: se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0. Como
(x-1)(x-2)=0,
temos duas possibilidades:
x-1=0 \quad\text{ou}\quad x-2=0.
Resolvendo cada uma:
x-1=0 \Rightarrow x=1,
x-2=0 \Rightarrow x=2.

Passo 5

Verifico as soluções encontradas substituindo na equação original.
Para x=1:
1^{2}-3\cdot1+2=1-3+2=0.
Para x=2:
2^{2}-3\cdot2+2=4-6+2=0.
Ambos satisfazem a equação, então são raízes válidas.

Passo 6

(Bônus rápido — outra maneira que sempre funciona) Uso a fórmula quadrática para confirmar:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
com a=1, b=-3, c=2. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot2=9-8=1.
Logo
x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{3\pm1}{2},
que dá x=\dfrac{3+1}{2}=2 e x=\dfrac{3-1}{2}=1, confirmando as mesmas raízes.

Resposta

\{1,2\}

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