Determine o conjunto solução, formado por raízes reais, das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução formado por raízes reais da equação
Informações dadas: trata-se de uma equação polinomial quadrática (grau 2) com coeficientes
,
e
. O objetivo é encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos usar o método de fatoração (o mais direto aqui). Primeiro, lembro uma identidade útil para quadráticas monicas (coeficiente principal
):
se, e somente se,
e
. No nosso caso
e
. Então procuramos dois números
e
tais que
e
Procuro pares de inteiros que multiplicam para
: esses pares são
e
ou
e
. Verifico as somas:
Portanto,
e
.
Passo 3
Com
e
escrevo a fatoração:
Para checar, vou expandir rapidamente (apenas para confirmar):
que coincide com o polinômio dado.
Passo 4
Agora aplico a propriedade do produto nulo: se
então
ou
. Como
temos duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:
Passo 5
Verifico as soluções encontradas substituindo na equação original.
Para :
Para
Para
:
Ambos satisfazem a equação, então são raízes válidas.
Passo 6
(Bônus rápido — outra maneira que sempre funciona) Uso a fórmula quadrática para confirmar:
com
,
,
. Calculo o discriminante:
Logo
que dá
e
, confirmando as mesmas raízes.