Efetue as operações indicadas:
\left(7 x-2 x^{4}+3 x^{5}-2-6 x^{2}\right):(3 x-2)

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça a divisão
\left(7x-2x^{4}+3x^{5}-2-6x^{2}\right):(3x-2).
Informações dadas:
\text{dividendo original}=\left(7x-2x^{4}+3x^{5}-2-6x^{2}\right)
\text{divisor}=3x-2
O objetivo é encontrar o quociente (e resto, se houver) da divisão polinomial.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar o dividendo em potências decrescentes de x e colocar termos ausentes com coeficiente zero. Assim:
\text{dividendo} = 3x^{5}-2x^{4}+0x^{3}-6x^{2}+7x-2.
\text{divisor} = 3x-2.
Breve aula sobre o método que vamos usar (divisão polinomial longa): a cada passo dividimos o termo de maior grau do resto pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente; multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos do resto; repetimos até o resto ter grau menor que o do divisor. O termo de maior grau de 3x-2 é 3x (grau 1).

Passo 3

Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{3x^{5}}{3x}=x^{4}.
Esse é o primeiro termo do quociente. Multiplicamos o divisor por x^{4}:
(3x-2)\cdot x^{4}=3x^{5}-2x^{4}.
Subtraímos esse produto do dividendo original:
\bigl(3x^{5}-2x^{4}+0x^{3}-6x^{2}+7x-2\bigr)-\bigl(3x^{5}-2x^{4}\bigr)=0x^{5}+0x^{4}+0x^{3}-6x^{2}+7x-2.
Simplificando, o resto após esta subtração é
-6x^{2}+7x-2.

Passo 4

Agora dividimos o termo de maior grau do resto pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{-6x^{2}}{3x}=-2x.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por -2x:
(3x-2)\cdot(-2x)=-6x^{2}+4x.
Subtraímos esse produto do resto atual:
\bigl(-6x^{2}+7x\bigr)-\bigl(-6x^{2}+4x\bigr)=(-6x^{2}+7x)+6x^{2}-4x=3x.
Trazendo o termo constante, o novo resto é
3x-2.

Passo 5

Dividimos o termo de maior grau do novo resto pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{3x}{3x}=1.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por 1:
(3x-2)\cdot 1=3x-2.
Subtraindo do resto:
(3x-2)-(3x-2)=0.
O resto é zero, portanto a divisão é exata.

Passo 6

Reunindo os termos do quociente obtidos nos passos:
\text{quociente} = x^{4}-2x+1.
Verificação (pequena aula bônus): multiplicando quociente pelo divisor para checar:
(x^{4}-2x+1)(3x-2)=3x^{5}-2x^{4}-6x^{2}+7x-2,
que é exatamente o dividendo reordenado. Isso confirma que a divisão está correta e sem resto.

Resposta

x^{4}-2x+1

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