Efetue as operações indicadas:
\left(x^{3}-2 x^{2}-6 x-27\right):\left(x^{2}-5 x+9\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão do polinômio
\left(x^{3}-2x^{2}-6x-27\right) : \left(x^{2}-5x+9\right).
Informações dadas:
\text{Dividendo} = x^{3}-2x^{2}-6x-27, \qquad \text{Divisor} = x^{2}-5x+9.
O objetivo é encontrar o quociente e o resto (ou escrever a divisão na forma de quociente mais resto sobre o divisor). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do método): em divisão de polinômios usamos divisão de termos líderes. A regra é:
\text{termo\_quociente} = \frac{\text{termo líder do dividendo}}{\text{termo líder do divisor}}.íí
Aqui o termo líder do dividendo é \,x^{3}\, e do divisor é \,x^{2}\,. Então o primeiro termo do quociente será
\frac{x^{3}}{x^{2}} = x.
Essa regra vem da necessidade de anular o termo de maior grau do dividendo multiplicando o divisor por esse termo do quociente.

Passo 3

Multiplicamos o divisor por \,x e subtraímos do dividendo. Primeiro cálculo:
x\cdot\left(x^{2}-5x+9\right)=x^{3}-5x^{2}+9x.
Agora subtraímos esse resultado do dividendo termo a termo:
\bigl(x^{3}-2x^{2}-6x-27\bigr)-\bigl(x^{3}-5x^{2}+9x\bigr).
Fazendo a subtração termo a termo (cuidando dos sinais):
x^{3}-x^{3}=0,
-2x^{2}-(-5x^{2})=-2x^{2}+5x^{2}=3x^{2},
-6x-(9x)=-15x,
-27-0=-27.
Portanto o resto parcial após essa etapa é
3x^{2}-15x-27.

Passo 4

Agora repetimos a regra com o novo polinômio 3x^{2}-15x-27. Dividimos o termo líder 3x^{2} pelo termo líder do divisor x^{2}:
\frac{3x^{2}}{x^{2}}=3.
Esse é o próximo (e último) termo do quociente, porque multiplicando o divisor por 3 teremos grau igual ao do resto parcial.

Passo 5

Multiplicamos o divisor por 3 e subtraímos:
3\cdot\left(x^{2}-5x+9\right)=3x^{2}-15x+27.
Subtraindo do resto parcial:
\bigl(3x^{2}-15x-27\bigr)-\bigl(3x^{2}-15x+27\bigr).
Calculando termo a termo:
3x^{2}-3x^{2}=0,
-15x-(-15x)=0,
-27-(27)=-54.
Portanto o resto final é o polinômio constante
-54.

Passo 6

Verificação do grau: o resto -54 tem grau 0, que é menor que o grau do divisor ( 2), logo a divisão está completa. O quociente obtido, juntando os termos que encontramos, é
x+3.
A divisão pode ser escrita na forma
\text{divisão} = \text{quociente} + \dfrac{\text{resto}}{\text{divisor}} = x+3+\dfrac{-54}{x^{2}-5x+9}.ã
É comum simplificar o sinal do resto, escrevendo
x+3-\dfrac{54}{x^{2}-5x+9}.

Resposta

x+3-\dfrac{54}{x^{2}-5x+9}
Quociente: x+3
Resto: -54

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