Seja
. Responda:
(a) Determine os valores de
e
e use-os para esboçar o gráfico de
.
(b) Sobre o mesmo sistema de eixos, esboce
. Que relação geométrica existe entre os gráficos de
e
?
(c) Determine a imagem de
e justifique por que
não possui solução.
(a) Determine os valores de
(b) Sobre o mesmo sistema de eixos, esboce
(c) Determine a imagem de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Calcular os valores
e e usar esses pontos para esboçar o gráfico de . - (b) No mesmo sistema de eixos, esboçar
e indicar que relação geométrica existe entre os gráficos de e . - (c) Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis de
) e justificar por que a equação não tem solução.
Informações relevantes que temos explicitamente:
- A definição da função:
. - A definição de
: .
Passo 2
Calcular
e
. Vou usar regras básicas de potências:
- Regra: para todo
e todo , e para . Também .
Aplicando essas regras a
:
Explicação curta: qualquer base positiva elevada a
vale
.
Explicação: potência positiva inteira.
Explicação: expoente negativo inverte a base elevada ao positivo.
Posso também dar uma aproximação numérica útil para esboçar:
Passo 3
Usar os pontos calculados para esboçar o gráfico de
. O que esses pontos nos dizem e como desenhar a curva:
- Os pontos conhecidos são:
-
, -
, -
.
-
- Observações qualitativas que derivam desses pontos e da definição de exponencial:
- Há uma interceptação com o eixo
em porque . - Para
positivo, cresce rápido (por exemplo ). - Para
negativo, fica positivo e se aproxima de (por exemplo ), mas não atinge . - A linha
é uma assíntota horizontal à medida que .
- Há uma interceptação com o eixo
- Como esboçar na prática (passos que você pode fazer na prova):
- Marque os três pontos acima no plano.
- Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, fica cada vez maior à direita (tendendo a
quando ) e se aproxima de à esquerda (quando ). - Coloque uma seta indicando crescimento para
e outra apontando a aproximação para quando .
Dica visual rápida: a curva é sempre positiva e estritamente crescente (base
).
Passo 4
Analisar
e a relação geométrica entre
e
.
- Repare que
Isso significa que é exatamente a composição de com a reflexão . - Consequência geométrica: se
pertence ao gráfico de (ou seja, ), então pertence ao gráfico de (porque ). Portanto: - O gráfico de
é a reflexão do gráfico de em relação ao eixo .
- O gráfico de
- Exemplos numéricos para ficar claro:
- Como
, tem-se . Logo o ponto de corresponde ao ponto de . - Como
, tem-se . Então em corresponde a em .
- Como
- Como esboçar
no mesmo eixo: - Pegue o esboço de
e reflita-o sobre o eixo . - Os interceptos:
(mesmo ponto em ), mas o comportamento à esquerda/direita troca: decresce para a direita (porque é exponencial com argumento ), ou seja, é estritamente decrescente enquanto é crescente.
- Pegue o esboço de
Passo 5
Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis) de
e justificar por que
não tem solução.
- Propriedade fundamental: para qualquer
, . - Razão intuitiva simples: a potência de uma base positiva nunca é zero. Se precisar de argumento mais formal, escrever que
e a função exponencial é sempre positiva para todo .
- Razão intuitiva simples: a potência de uma base positiva nunca é zero. Se precisar de argumento mais formal, escrever que
- Limites que ajudam a entender a imagem:
vão arbitrariamente para à direita e se aproximam de pela esquerda, sem nunca alcançá‑lo. -
- Portanto a imagem (o conjunto de valores que
assume) é - Conclusão sobre a equação
: como todos os valores são positivos ( ), não existe tal que . Assim, a equação não possui solução.
Resposta
(a)
Esboço: curva exponencial crescente passando por
, com assíntota horizontal
à esquerda e crescimento para
à direita.
(b)
. O gráfico de
é a reflexão do gráfico de
em relação ao eixo
.
(c) Imagem de
:
. A equação
não tem solução porque
para todo
(a função exponencial nunca atinge zero).