Seja f(x)=3^{x}. Responda:
(a) Determine os valores de f(-2), f(0) e f(2) e use-os para esboçar o gráfico de f.
(b) Sobre o mesmo sistema de eixos, esboce g(x)=3^{-x}. Que relação geométrica existe entre os gráficos de f e g ?
(c) Determine a imagem de f e justifique por que f(x)=0 não possui solução.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3^{x} e pede três coisas:
  • (a) Calcular os valores f(-2),\;f(0) e f(2) e usar esses pontos para esboçar o gráfico de f.
  • (b) No mesmo sistema de eixos, esboçar g(x)=3^{-x} e indicar que relação geométrica existe entre os gráficos de f e g.
  • (c) Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis de f) e justificar por que a equação f(x)=0 não tem solução.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • A definição da função: f(x)=3^{x}.
  • A definição de g: g(x)=3^{-x}.

Passo 2

Calcular f(-2),\;f(0) e f(2). Vou usar regras básicas de potências:
  • Regra: para todo a>0 e todo x\in\mathbb{R}, a^{0}=1 e a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} para n>0. Também a^{m+n}=a^{m}a^{n}.
Aplicando essas regras a f(x)=3^{x}:
  • f(0)=3^{0}=1.
Explicação curta: qualquer base positiva elevada a 0 vale 1.
  • f(2)=3^{2}=3\cdot3=9.
Explicação: potência positiva inteira.
  • f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}.
Explicação: expoente negativo inverte a base elevada ao positivo.
Posso também dar uma aproximação numérica útil para esboçar:
\frac{1}{9}\approx 0{,}111\ldots

Passo 3

Usar os pontos calculados para esboçar o gráfico de f. O que esses pontos nos dizem e como desenhar a curva:
  • Os pontos conhecidos são:
    • \bigl(-2,\dfrac{1}{9}\bigr),
    • (0,1),
    • (2,9).
  • Observações qualitativas que derivam desses pontos e da definição de exponencial:
    • Há uma interceptação com o eixo y em y=1 porque f(0)=1.
    • Para x positivo, f(x) cresce rápido (por exemplo f(2)=9).
    • Para x negativo, f(x) fica positivo e se aproxima de 0 (por exemplo f(-2)=\tfrac{1}{9}), mas não atinge 0.
    • A linha y=0 é uma assíntota horizontal à medida que x\to -\infty.
  • Como esboçar na prática (passos que você pode fazer na prova):
    1. Marque os três pontos acima no plano.
    2. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, fica cada vez maior à direita (tendendo a +\infty quando x\to+\infty) e se aproxima de y=0 à esquerda (quando x\to-\infty).
    3. Coloque uma seta indicando crescimento para x\to+\infty e outra apontando a aproximação para y=0 quando x\to-\infty.
Dica visual rápida: a curva é sempre positiva e estritamente crescente (base 3>1).

Passo 4

Analisar g(x)=3^{-x} e a relação geométrica entre f e g.
  • Repare que g(x)=3^{-x}=f(-x).Isso significa que g é exatamente a composição de f com a reflexão x\mapsto -x.
  • Consequência geométrica: se (a,b) pertence ao gráfico de f (ou seja, b=f(a)), então (-a,b) pertence ao gráfico de g (porque g(-a)=f(-(-a))=f(a)=b). Portanto:
    • O gráfico de g é a reflexão do gráfico de f em relação ao eixo y.
  • Exemplos numéricos para ficar claro:
    • Como f(2)=9, tem-se g(-2)=3^{-(-2)}=3^{2}=9. Logo o ponto (2,9) de f corresponde ao ponto (-2,9) de g.
    • Como f(-2)=\tfrac{1}{9}, tem-se g(2)=3^{-2}=\tfrac{1}{9}. Então \bigl(-2,\tfrac{1}{9}\bigr) em f corresponde a \bigl(2,\tfrac{1}{9}\bigr) em g.
  • Como esboçar g no mesmo eixo:
    1. Pegue o esboço de f e reflita-o sobre o eixo y.
    2. Os interceptos: g(0)=3^{0}=1 (mesmo ponto em y), mas o comportamento à esquerda/direita troca: g decresce para a direita (porque g é exponencial com argumento -x), ou seja, g é estritamente decrescente enquanto f é crescente.

Passo 5

Determinar a imagem (o conjunto de valores possíveis) de f e justificar por que f(x)=0 não tem solução.
  • Propriedade fundamental: para qualquer x\in\mathbb{R}, 3^{x}>0.
    • Razão intuitiva simples: a potência de uma base positiva nunca é zero. Se precisar de argumento mais formal, escrever que 3^{x}=e^{x\ln 3} e a função exponencial e^{t} é sempre positiva para todo t\in\mathbb{R}.
  • Limites que ajudam a entender a imagem:
    • \lim_{x\to+\infty}3^{x}=+\infty,
    • \lim_{x\to-\infty}3^{x}=0.
    Essas duas afirmações dizem que os valores de f vão arbitrariamente para +\infty à direita e se aproximam de 0 pela esquerda, sem nunca alcançá‑lo.
  • Portanto a imagem (o conjunto de valores que f assume) é (0,\infty).
  • Conclusão sobre a equação f(x)=0: como todos os valores f(x) são positivos ( >0), não existe x\in\mathbb{R} tal que 3^{x}=0. Assim, a equação f(x)=0 não possui solução.

Resposta

(a) f(-2)=\dfrac{1}{9},\;f(0)=1,\;f(2)=9. Esboço: curva exponencial crescente passando por \bigl(-2,\tfrac{1}{9}\bigr),\,(0,1),\,(2,9), com assíntota horizontal y=0 à esquerda e crescimento para +\infty à direita.
(b) g(x)=3^{-x}=f(-x). O gráfico de g é a reflexão do gráfico de f em relação ao eixo y.
(c) Imagem de f: (0,\infty). A equação f(x)=0 não tem solução porque 3^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R} (a função exponencial nunca atinge zero).

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