Determine o conjunto solução das inequações:
13 x+2 <= 3x-1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar o conjunto‐solução da inequação
13x+2;<=;3x-1
Conteúdo: inequação racional. O que precisamos:
  1. Ver domínio (onde o denominador vira zero).
  2. Colocar tudo num lado e escrever como uma só fração.
  3. Fazer a tabela de sinais dos fatores e achar onde a fração é ≤0.

Passo 2

Domínio: os denominadores são 3x+2 e x-1. Então não pode ser
3x+2=0 Rightarrow x=-tfrac23, x-1=0 Rightarrow x=1
Logo xneq -tfrac23 e xneq1.

Passo 3

Passo tudo para o lado esquerdo:
13x+2-3x-1;<=;0
Denominador comum = (3x+2)(x-1). Então
1cdot(x-1)-3cdot(3x+2)(3x+2)(x-1);<=;0

Passo 4

Calculo o numerador:
1cdot(x-1)-3cdot(3x+2)=x-1-9x-6=-8x-7
Fica
-8x-7(3x+2)(x-1);<=;0

Passo 5

Fatores e zeros:
  • -8x-7=0 Rightarrow x=-tfrac78
  • 3x+2=0 Rightarrow x=-tfrac23
  • x-1=0 Rightarrow x=1
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos. Num “sinaleiro” rápido:
Intervalo -infty,-tfrac78 -tfrac78,-tfrac23 -tfrac23,1 (1,infty)
Sinal de -8x-7 +
Sinal de 3x+2 + +
Sinal de x-1 +
Denom. total + + +
Fração + +
Queremos fração ≤0, ou seja sinal “–” ou zero. Note que em x=-tfrac78 a fração vale 0 e os outros “zeros” são pontos fora do domínio.

Passo 6

Da tabela, a inequação vale em:
  • -tfrac78<= x<-tfrac23
  • x>1
Lembrando que x=-tfrac23 e x=1 estão excluídos do domínio.

Resposta

boxed[-78,-23);cup;(1,infty)

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