Determine o conjunto solução das inequações:
23-x<x

Passo 1

O enunciado pede determinar o conjunto solução da inequação
23 - x < x
Trata-se de uma inequação racional: precisamos primeiro identificar o domínio (denominador diferente de zero) e depois estudar o sinal de 3 - x para multiplicar sem inverter o sentido da desigualdade.

Passo 2

O denominador exige
3 - x neq 0 Longrightarrow x neq 3
Além disso, devemos separar em dois casos conforme o sinal de 3 - x:
  • Caso A: 3 - x > 0 (ou seja, x < 3), multiplica-se por positivo.
  • Caso B: 3 - x < 0 (ou seja, x > 3), multiplica-se por negativo e inverte-se a desigualdade.

Passo 3

Caso A ( x < 3): multiplico ambos os lados por 3 - x>0 sem inverter a desigualdade:
2 < x,(3 - x) ;Longrightarrow; 2 < 3x - x^2 ;Longrightarrow; 0 < -,x^2 + 3x - 2 ;Longrightarrow; x^2 - 3x + 2 < 0
A expressão quadrática fatoriza em
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2),
que é negativa quando x está entre as raízes 1 e 2. Logo, neste caso a solução é
1 < x < 2,
sempre respeitando x<3, o que já está garantido por 1<x<2.

Passo 4

Caso B ( x > 3): multiplico ambos os lados por 3 - x<0, invertendo o sinal da desigualdade:
2 > x,(3 - x) ;Longrightarrow; 2 > 3x - x^2 ;Longrightarrow; 0 > -,x^2 + 3x - 2 ;Longrightarrow; x^2 - 3x + 2 > 0
Já sabemos que (x - 1)(x - 2)>0 quando x<1 ou x>2. Combinando com x>3, sobra
x > 3

Passo 5

Unindo as soluções de ambos os casos e excluindo x=3, obtemos
1 < x < 2 cup x > 3

Resposta

boxed(1,2);cup;(3,infty)

Exercícios relacionados