Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
raiz2 e^-i pi / 4

Passo 1

Resumindo, temos o número complexo dado em forma polar
z = raiz2,e^-ipi/4
e precisamos achar sua parte real x, parte imaginária y, módulo r, argumento theta, além do seu conjugado e dos gráficos de z e z.

Passo 2

Para passar de coordenadas polares (r,theta) para retangulares (x,y) usamos as fórmulas
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 3

Substituindo r = raiz2 e theta = -tfracpi4 nas fórmulas, temos
x = raiz2cos!l(-tfracpi4r) = 1, y = raiz2sin!l(-tfracpi4r) = -1

Passo 4

Confirmamos o módulo e o argumento principal:
r = raizx^2 + y^2 = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
theta = -pi4 (o valor principal em (-pi,pi])

Passo 5

O conjugado de z é
z = x - i,y = 1 - i(-1) = 1 + i
Ele tem o mesmo módulo raiz2 e argumento principal
thetaz = -theta = pi4

Passo 6

No plano complexo:
  • z é o ponto (1,-1), ou seja, um ponto no semiplano inferior.
  • z é o ponto (1,1), obtido refletindo z em relação ao eixo real.

Resposta

Parte real x = 1
Parte imaginária y = -1
Módulo r = raiz2
Argumento theta = -tfracpi4 (ou alternativamente 7pi/4)
Conjugado z = 1 + i
Grafico: z em (1,-1) e z em (1,1).

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