Determine o conjunto solução das inequações:
3-xraizx-1 <= 1

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o conjunto-solução da inequação
3 - xraizx - 1 <= 1.”
Isso é uma inequação que envolve uma expressão racional com raiz quadrada.
Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender o domínio (onde a raiz existe e o denominador não zera).
  2. Saber multiplicar por algo positivo sem inverter o sinal da desigualdade.
  3. Fazer uma substituição para simplificar a parte que tem raiz.

Passo 2

A primeira coisa é ver o domínio de
raizx - 1.
Para a raiz quadrada ser real, precisamos de
x - 1 ;>=; 0 Longrightarrow x ;>=; 1
Além disso, como ela está no denominador, não pode ser zero:
raizx - 1 neq 0 Longrightarrow x neq 1
Então, juntando tudo, o domínio é
x > 1

Passo 3

Como em x>1 a quantidade raizx-1 é estritamente positiva, podemos multiplicar os dois lados de
3 - xraizx - 1 <= 1
por raizx-1 sem trocar o “ <=”. Fica:
3 - x ;<=; raizx - 1

Passo 4

Para lidar com a raiz, a gente faz a substituição
t = raizx - 1,
que implica
x = t^2 + 1 e t >= 0
Reescrevendo 3 - x <= raizx - 1 em função de t:
3 - (t^2 + 1) ;<=; t Longrightarrow 2 - t^2 ;<=; t Longrightarrow -,t^2 - t + 2 ;<=; 0

Passo 5

Multiplicamos por -1 (invertendo a desigualdade):
t^2 + t - 2 ;>=; 0
Fatorando:
(t + 2)(t - 1) ;>=; 0
Uma parábola t^2 + t - 2 é positiva quando
t <= -2 ou t >= 1
Mas como t = raizx-1 >= 0, só vale
t >= 1

Passo 6

Voltando para x:
t >= 1 Longrightarrow raizx - 1 >= 1 Longrightarrow x - 1 >= 1 Longrightarrow x >= 2
E lembrando que já tínhamos x > 1, a interseção é
x >= 2

Resposta

O conjunto-solução da inequação é
boxed[2,,infty)

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