Determine o conjunto solução das inequações:
1+|x|<2|x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo módulo e fração
1 + |x| < 2|x|,
que é do tipo “inequação racional com módulo”. Para simplificar, vamos usar a substituição t = |x|.

Passo 2

Como |x| aparece no denominador, temos a restrição
|x| neq 0 Longrightarrow t neq 0
Além disso, por definição de módulo, t = |x|>=0. Combinando as duas ideias, o domínio de t é
t>0

Passo 3

Substituindo t = |x| na desigualdade, fica
1 + t < 2t

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por t>0 (isso não inverte o sinal da desigualdade):
t,(1 + t) < 2
Expandindo e reorganizando, obtemos
t^2 + t - 2 < 0

Passo 5

Para resolver
t^2 + t - 2 < 0
calculamos as raízes do polinômio t^2 + t - 2 = 0:
t = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
portanto as raízes são t=-2 e t=1. A parábola abre para cima, então a desigualdade é satisfeita para
-2 < t < 1
Levando em conta que t>0, a solução em t é
0 < t < 1

Passo 6

Voltando para x, temos t = |x|, logo
0 < |x| < 1
que equivale ao intervalo
(-1,0)cup(0,1)

Resposta

(-1,0)cup(0,1)

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