Determine o conjunto solução das inequações:
|x|x-1>2-x|x|

Passo 1

O exercício pede para a gente achar o conjunto-solução da inequação
|x|x-1 ;>; 2-x|x|
Matéria envolvida: inequações racionais com valor absoluto.
O que vamos usar:
• Propriedade de valor absoluto ( |x|=x se x>=0, e |x|=-x se x<0).
• Análise de sinais para inequações (se multiplicar por algo negativo, o sinal inverte).

Passo 2

Primeiro, o domínio. Como temos x-1 e |x| no denominador, não pode rolar zeros ali. Então
x-1neq0 Rightarrow xneq1, |x|neq0 Rightarrow xneq0
Logo trabalhamos só com xin Rsetminus0,1.

Passo 3

A técnica é dividir em três intervalos, onde as expressões mudam de sinal:
  1. x<0, 2) 0<x<1, 3) x>1.
    Em cada trecho a gente substitui |x| por x ou por -x e vê o sinal de x-1.

Passo 4

Caso x>1:
  • |x|=x e x-1>0.
    A inequação vira
xx-1 ;>; 2-xx
Como x>1, tanto x quanto x-1 são positivos, então multiplico os dois lados por x(x-1)>0 sem inverter sinal:
xcdot x ;>;(2-x)(x-1) Longrightarrow x^2 > -x^2 +3x -2 Longrightarrow 2x^2 -3x +2 > 0
Esse trinômio tem De<a =(-3)^2-4cdot2cdot2=9-16=-7<0 e coeficiente líder positivo, então ele é sempre >0.
Conclusão: toda x>1 satisfaz.

Passo 5

Caso 0<x<1:
  • |x|=x>0, mas x-1<0.
    Então
|x|x-1=x,x-1,<0, 2-x|x|=2-xx>0
(basta ver que 2-x>1 aqui).
Logo negativo > positivo é impossível. Nada de solução em (0,1).

Passo 6

Caso x<0:
  • |x|=-x>0, x-1<0.
    A mesma ideia:
|x|x-1=-x,x-1,<0, 2-x|x|=2-x-x>0
De novo negativo > positivo não rola. Sem solução para x<0.

Resposta

O conjunto-solução é
boxed(1,infty)

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