Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
2(cos pi4+i sin pi4)

Passo 1

Estamos trabalhando com o número complexo dado em forma polar
z = 2l(costfracpi4 + isintfracpi4r)
O que precisamos fazer:
  1. Converter em forma cartesiana para encontrar parte real x e parte imaginária y.
  2. Calcular o módulo r.
  3. Determinar um valor do argumento theta.
  4. Encontrar o conjugado z.
  5. Fazer o gráfico de z e de z no plano complexo.

Passo 2

Converter para a forma cartesiana usando as fórmulas
x = rcostheta, y = rsintheta
aqui r=2 e theta=tfracpi4. Logo,
x = 2costfracpi4 = 2cdot raiz22 = raiz2,
y = 2sintfracpi4 = 2cdot raiz22 = raiz2

Passo 3

Calcular o módulo pelo teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2 = raiz(raiz2)^2 + (raiz2)^2 = raiz2 + 2 = 2
Isso confirma o valor original de r.

Passo 4

O argumento theta satisfaz
tantheta = yx = raiz2raiz2 = 1,
e como x>0 e y>0, theta = tfracpi4 (pode-se adicionar 2pi k para outras voltas, mas basta este valor).

Passo 5

O conjugado de
z = raiz2 + iraiz2
é
z = raiz2 - iraiz2
Em coordenadas, z fica no ponto (raiz2, -raiz2).

Passo 6

Gráfico no plano complexo:
  • O ponto de z tem coordenadas (raiz2,,raiz2).
  • O ponto de z tem coordenadas (raiz2,,-raiz2).
    Basta marcar esses dois pontos e, se quiser, desenhar vetores da origem até eles.

Resposta

Parte real x = raiz2
Parte imaginária y = raiz2
Módulo r = 2
Argumento theta = tfracpi4
Conjugado z = raiz2 - iraiz2
Gráfico: ponto z em (raiz2,raiz2) e ponto z em (raiz2,-raiz2).

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