Determine o conjunto solução das inequações:
-2 \leq 3 x+1<7

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução da inequação composta dada. Informações fornecidas:
  • A inequação composta é -2 \leq 3x+1 < 7.
  • Quer-se encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.

Passo 2

Entendendo a inequação composta e a estratégia: uma desigualdade do tipo
-2 \leq 3x+1 < 7
significa que simultaneamente valem as duas desigualdades
-2 \leq 3x+1 \qquad\text{e}\qquad 3x+1 < 7.
Podemos manipular as três partes ao mesmo tempo aplicando a mesma operação a todos os termos (desde que essa operação seja válida para desigualdades). Primeiro passo prático: eliminar o +1 subtraindo 1 de cada termo.

Passo 3

Subtraindo 1 de cada termo da desigualdade composta:
-2-1 \leq 3x+1-1 < 7-1.
Agora calculamos cada subtração:
-3 \leq 3x < 6.
Explicação didática: subtrair o mesmo número de todos os termos preserva as relações de ordem; por isso os sinais \leq e < não mudam.

Passo 4

Agora isolamos x dividindo todos os termos por 3. Como 3 é positivo, a direção das desigualdades permanece igual:
\frac{-3}{3} \leq \frac{3x}{3} < \frac{6}{3}.
Fazendo as divisões:
-1 \leq x < 2.
Explicação didática: dividir por um número positivo mantém os sinais; se dividíssemos por um número negativo, teríamos que inverter os sinais das desigualdades.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • A solução -1 \leq x < 2 inclui x=-1 (verifique: 3(-1)+1=-2, que satisfaz -2\le\ldots) e exclui x=2 (verifique: 3(2)+1=7, mas a parte direita é estrita <7, então x=2 não é permitido).
  • Um exemplo interior: x=0 3(0)+1=1, que satisfaz -2\le1<7.
  • Um exemplo fora: x=3 10, que não satisfaz a desigualdade direita.

Passo 6

Escrevendo o conjunto solução em notações comuns:
  • Notação em conjunto: \{\,x\in\mathbb{R}\mid -1\le x<2\,\}.
  • Notação em intervalo: \left[-1,2\right).

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid -1\le x<2\,\}

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