Determine o conjunto solução das inequações
2 \operatorname{sen}^{2}(x)<\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução da inequação
2\operatorname{sen}^{2}(x)<\operatorname{sen}(x).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x é real e a função envolvida é a função seno \operatorname{sen}(x).
  • Sabemos que \operatorname{sen}(x) toma valores no intervalo [-1,1].
  • A inequação é estrita (sinais de igualdade não entram), então soluções não podem incluir pontos onde 2\operatorname{sen}^{2}(x)=\operatorname{sen}(x).

Passo 2

Para simplificar, façamos a substituição
t=\operatorname{sen}(x),
lembrando que t\in[-1,1]. Reescrevendo a inequação em t obtemos
2t^{2}<t.
Passando tudo para um lado:
2t^{2}-t<0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio em t:
2t^{2}-t=t(2t-1).
Então a inequação vira
t(2t-1)<0.
Explicação da análise de sinais: um produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Logo consideramos as possibilidades:
  • Se t<0 então 2t-1<2\cdot0-1=-1<0. Ambos os fatores seriam negativos, o produto seria positivo — não serve.
  • Se t>0 então para ter produto negativo precisamos ter 2t-1<0, isto é 2t<1 ou t<\tfrac{1}{2}.
Portanto a condição em t é
0<t<\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Voltando para x, precisamos resolver
0<\operatorname{sen}(x)<\tfrac{1}{2}.
Primeiro identificamos onde \operatorname{sen}(x)>0: isso ocorre para x com parte principal em (0,\pi) no período [0,2\pi), e repetindo a cada 2\pi. Agora achamos os pontos em que \operatorname{sen}(x)=\tfrac{1}{2}. As soluções fundamentais dessa equação são
x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{e}\quad x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dentro do intervalo (0,\pi) a desigualdade 0<\operatorname{sen}(x)<\tfrac{1}{2} ocorre quando x está entre 0 e \tfrac{\pi}{6} (seno cresce de 0 a \tfrac{1}{2}) ou entre \tfrac{5\pi}{6} e \pi (seno decresce de \tfrac{1}{2} a 0). Como a função seno é 2\pi-periódica, somamos a esses intervalos todos os deslocamentos por 2k\pi.
Assim o conjunto solução é a reunião, para todo k\in\mathbb{Z}, dos intervalos
(2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{6})\quad\text{e}\quad(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\;2k\pi+\pi).
Observação: os extremos não são incluídos porque a inequação é estrita.

Resposta

\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left((2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{6})\;\cup\;(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\;2k\pi+\pi)\right)

Exercícios relacionados