Determine o conjunto solução das inequações
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto solução da inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
é real e a função envolvida é a função seno . - Sabemos que
toma valores no intervalo . - A inequação é estrita (sinais de igualdade não entram), então soluções não podem incluir pontos onde
.
Passo 2
Para simplificar, façamos a substituição
lembrando que
. Reescrevendo a inequação em
obtemos
Passando tudo para um lado:
Passo 3
Fatoramos o polinômio em
:
Então a inequação vira
Explicação da análise de sinais: um produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Logo consideramos as possibilidades:
- Se
então . Ambos os fatores seriam negativos, o produto seria positivo — não serve. - Se
então para ter produto negativo precisamos ter , isto é ou .
Portanto a condição em
é
Passo 4
Voltando para
, precisamos resolver
Primeiro identificamos onde
: isso ocorre para
com parte principal em
no período
, e repetindo a cada
. Agora achamos os pontos em que
. As soluções fundamentais dessa equação são
Dentro do intervalo
a desigualdade
ocorre quando
está entre
e
(seno cresce de
a
) ou entre
e
(seno decresce de
a
). Como a função seno é
-periódica, somamos a esses intervalos todos os deslocamentos por
.
Assim o conjunto solução é a reunião, para todo
, dos intervalos
Observação: os extremos não são incluídos porque a inequação é estrita.