Determine o conjunto solução das inequações
\quad \cos (x)<-\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os x reais que satisfazem a inequação
\cos(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O valor numérico do lado direito é -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, aproximadamente -0,7071.
  • A incógnita é x real e procura-se o conjunto solução (todos os x que tornam a desigualdade verdadeira).
  • Não há outras restrições no x (ou seja, considerar toda a reta real).

Passo 2

Vamos entender onde a função cosseno atinge o valor -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Para isso uso o círculo trigonométrico e ângulos notórios:
  • Sabemos que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • No círculo trigonométrico, os ângulos com referência \dfrac{\pi}{4} que dão cosseno negativo são \dfrac{3\pi}{4} (segundo quadrante) e \dfrac{5\pi}{4} (terceiro quadrante).
  • Logo, os pontos em que a igualdade ocorre são
\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}, porque \cos é 2\pi-periódica.

Passo 3

Agora precisamos saber onde \cos(x) é estritamente menor que esse valor. Veja o comportamento do cosseno num período típico [0,2\pi]:
  • Em [0,\pi] a função \cos(x) é decrescente, indo de 1 em x=0 até -1 em x=\pi.
  • Em [\pi,2\pi] a função \cos(x) é crescente, indo de -1 em x=\pi até 1 em x=2\pi.
Como \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, e sabendo a monotonicidade indicada, em um período 0\le x<2\pi a desigualdade \cos(x)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} será satisfeita exatamente para os x situados estritamente entre esses dois pontos, isto é,
\frac{3\pi}{4}<x<\frac{5\pi}{4}.
Um teste rápido: em x=\pi tem-se \cos(\pi)=-1, que é menor que -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então o intervalo faz sentido.

Passo 4

Como a função é 2\pi-periódica, repetimos esse intervalo em todos os períodos, somando 2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto o conjunto solução é a reunião de todos esses intervalos deslocados por 2k\pi:
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right).

Resposta

x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)

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