Determine o conjunto solução das inequações
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de todos os
reais que satisfazem a inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- O valor numérico do lado direito é
, aproximadamente . - A incógnita é
real e procura-se o conjunto solução (todos os que tornam a desigualdade verdadeira). - Não há outras restrições no
(ou seja, considerar toda a reta real).
Passo 2
Vamos entender onde a função cosseno atinge o valor
. Para isso uso o círculo trigonométrico e ângulos notórios:
- Sabemos que
. - No círculo trigonométrico, os ângulos com referência
que dão cosseno negativo são (segundo quadrante) e (terceiro quadrante). - Logo, os pontos em que a igualdade ocorre são
com
, porque
é
-periódica.
Passo 3
Agora precisamos saber onde
é estritamente menor que esse valor. Veja o comportamento do cosseno num período típico
:
- Em
a função é decrescente, indo de em até em . - Em
a função é crescente, indo de em até em .
Como
e
, e sabendo a monotonicidade indicada, em um período
a desigualdade
será satisfeita exatamente para os
situados estritamente entre esses dois pontos, isto é,
Um teste rápido: em
tem-se
, que é menor que
, então o intervalo faz sentido.
Passo 4
Como a função é
-periódica, repetimos esse intervalo em todos os períodos, somando
com
. Portanto o conjunto solução é a reunião de todos esses intervalos deslocados por
: