Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade:
\operatorname{sen}(x)>\cos (x)
Passo 1
O enunciado pede todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade
Informações relevantes dadas:
- A desigualdade é
. - O domínio considerado é o intervalo
. - A tarefa é listar todos os
nesse intervalo que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos transformar a desigualdade para uma forma mais fácil de analisar. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Agora é útil escrever a combinação
como um único seno com amplitude e deslocamento de fase, porque aí fica simples saber quando é positivo. A identidade geral é: para constantes
e
existe
e
tais que
onde
e
satisfaz
,
. Vou aplicar isso com
e
.
Calcule
:
Agora escolhemos
tal que
Esses valores correspondem a
(ou equivalente módulo
). Logo
Verificação rápida (opcional): aplicar fórmula do seno da soma:
Passo 3
A desigualdade
torna-se, usando a expressão encontrada,
Como
, isso equivale a
Agora vamos lembrar quando o seno é positivo: para um ângulo
,
exatamente quando
está em intervalos da forma
Passo 4
Aplicando isso com
, obtemos as soluções gerais
Agora intersectamos essas soluções com o intervalo pedido
.
- Para
temos , que está dentro de . - Para
temos , que fica acima de e, portanto, fora do intervalo. - Para
os intervalos ficam negativos e também fora de .
Portanto, a interseção com
é exatamente
Passo 5
Para ter certeza e intuição: nos extremos
e
vale
, então nesses pontos a desigualdade estrita não vale (por isso são excluídos). Um ponto teste dentro do intervalo, por exemplo
, dá
e
, então
confirma que a desigualdade é verdadeira ali. Um ponto fora, por exemplo
, dá
e
, então
é falso, confirmando a exclusão.