Determine todos os valores de x no intervalo 0,2 \pi que satisfaçam a desigualdade:
\operatorname{sen}(x)>\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de x no intervalo [0,2\pi] que satisfaçam a desigualdade
\sin(x)>\cos(x).
Informações relevantes dadas:
  • A desigualdade é \sin(x)>\cos(x).
  • O domínio considerado é o intervalo [0,2\pi].
  • A tarefa é listar todos os x nesse intervalo que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos transformar a desigualdade para uma forma mais fácil de analisar. Subtraindo \cos(x) dos dois lados obtemos
\sin(x)-\cos(x)>0.
Agora é útil escrever a combinação \sin(x)-\cos(x) como um único seno com amplitude e deslocamento de fase, porque aí fica simples saber quando é positivo. A identidade geral é: para constantes A e B existe R>0 e \varphi tais que
A\sin(x)+B\cos(x)=R\sin(x+\varphi),
onde R=\sqrt{A^{2}+B^{2}} e \varphi satisfaz \cos\varphi=\dfrac{A}{R}, \sin\varphi=\dfrac{B}{R}. Vou aplicar isso com A=1 e B=-1.
Calcule R:
R=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Agora escolhemos \varphi tal que
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\varphi=\frac{-1}{\sqrt{2}}.
Esses valores correspondem a \varphi=-\dfrac{\pi}{4} (ou equivalente módulo 2\pi). Logo
\sin(x)-\cos(x)=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right).
Verificação rápida (opcional): aplicar fórmula do seno da soma:
\sqrt{2}\Big(\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}\Big) =\sqrt{2}\Big(\sin x\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\frac{\sqrt{2}}{2}\Big) =\sin x-\cos x.

Passo 3

A desigualdade \sin(x)-\cos(x)>0 torna-se, usando a expressão encontrada,
\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>0.
Como \sqrt{2}>0, isso equivale a
\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>0.
Agora vamos lembrar quando o seno é positivo: para um ângulo \theta, \sin\theta>0 exatamente quando \theta está em intervalos da forma
(2k\pi,\;2k\pi+\pi),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Aplicando isso com \theta=x-\dfrac{\pi}{4}, obtemos as soluções gerais
x-\frac{\pi}{4}\in(2k\pi,\;2k\pi+\pi)\quad\Longrightarrow\quad x\in\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\;\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora intersectamos essas soluções com o intervalo pedido [0,2\pi].
  • Para k=0 temos x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right), que está dentro de [0,2\pi].
  • Para k=1 temos x\in\left(\dfrac{\pi}{4}+2\pi,\dfrac{5\pi}{4}+2\pi\right), que fica acima de 2\pi e, portanto, fora do intervalo.
  • Para k=-1 os intervalos ficam negativos e também fora de [0,2\pi].
Portanto, a interseção com [0,2\pi] é exatamente
\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right).

Passo 5

Para ter certeza e intuição: nos extremos x=\dfrac{\pi}{4} e x=\dfrac{5\pi}{4} vale \sin(x)=\cos(x), então nesses pontos a desigualdade estrita não vale (por isso são excluídos). Um ponto teste dentro do intervalo, por exemplo x=\dfrac{\pi}{2}, dá \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, então 1>0 confirma que a desigualdade é verdadeira ali. Um ponto fora, por exemplo x=\dfrac{3\pi}{2}, dá \sin=-1 e \cos=0, então -1>0 é falso, confirmando a exclusão.

Resposta

\displaystyle x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)

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