Resolva, para
, as equações/inequações
Passo 1
O enunciado pede: resolver, para
, a inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve a função exponencial de base
, ou seja, . - O domínio procurado é todo o conjunto dos reais
. - Não há outras restrições além da própria inequação.
Passo 2
Propriedade importante que vamos usar (explicada passo a passo):
- Para qualquer base
, a função exponencial é estritamente crescente. Isso significa que, se , então , e vice‑versa. - A consequência prática: aplicar uma função estritamente crescente em ambos os lados de uma inequação preserva o sinal da desigualdade. Em particular, podemos aplicar um logaritmo na base
(ou o logaritmo natural) aos dois lados sem inverter a desigualdade, porque logaritmos com base maior que são funções crescentes.
Passo 3
Um modo intuitivo de localizar a solução antes de calcular exatamente é comparar potências inteiras de
:
Portanto o valor de
que satisfaz
deve estar estritamente entre
e
: ou seja,
. Isso já nos dá um intervalo inicial útil.
Passo 4
Agora vamos transformar a inequação usando logaritmos para obter uma expressão exata para
.
Como a função é crescente, aplicar
em ambos os lados preserva a desigualdade:
Como a função
Pelo fato de
, obtemos
Esta é a solução exata em termos de logaritmo na base
.
Passo 5
Se for preferível escrever o resultado usando logaritmo natural (ou outro logaritmo), use a fórmula de mudança de base:
onde
é o logaritmo natural. Assim a solução pode ser escrita como
Observação prática: no exame é perfeitamente aceitável deixar a resposta na forma
. Se quiser uma aproximação numérica, temos
.
Passo 6
Resumo do raciocínio para aplicar na prova:
- Reconhecer que
é estritamente crescente (pois base ). - Aplicar logaritmo na mesma base (ou natural) nos dois lados, sem inverter a desigualdade.
- Usar a propriedade
para isolar . - Opcionalmente, usar mudança de base para obter uma forma com
e aproximar numericamente.