Resolva, para x \in \mathbb{R}, as equações/inequações
2^{x}>3

Passo 1

O enunciado pede: resolver, para x\in\mathbb{R}, a inequação
2^{x}>3.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve a função exponencial de base 2, ou seja, x\mapsto 2^{x}.
  • O domínio procurado é todo o conjunto dos reais x.
  • Não há outras restrições além da própria inequação.

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Para qualquer base a>1, a função exponencial x\mapsto a^{x} é estritamente crescente. Isso significa que, se x_{1}<x_{2}, então a^{x_{1}}<a^{x_{2}}, e vice‑versa.
  • A consequência prática: aplicar uma função estritamente crescente em ambos os lados de uma inequação preserva o sinal da desigualdade. Em particular, podemos aplicar um logaritmo na base 2 (ou o logaritmo natural) aos dois lados sem inverter a desigualdade, porque logaritmos com base maior que 1 são funções crescentes.

Passo 3

Um modo intuitivo de localizar a solução antes de calcular exatamente é comparar potências inteiras de 2:
2^{1}=2<3\qquad\text{e}\qquad 2^{2}=4>3.
Portanto o valor de x que satisfaz 2^{x}>3 deve estar estritamente entre 1 e 2: ou seja, 1<x<2. Isso já nos dá um intervalo inicial útil.

Passo 4

Agora vamos transformar a inequação usando logaritmos para obter uma expressão exata para x.
Como a função \log_{2}(\cdot) é crescente, aplicar \log_{2} em ambos os lados preserva a desigualdade:
2^{x}>3 \quad\Longrightarrow\quad \log_{2}\big(2^{x}\big)>\log_{2}(3).
Pelo fato de \log_{2}\big(2^{x}\big)=x, obtemos
x>\log_{2}(3).
Esta é a solução exata em termos de logaritmo na base 2.

Passo 5

Se for preferível escrever o resultado usando logaritmo natural (ou outro logaritmo), use a fórmula de mudança de base:
\log_{2}(3)=\dfrac{\ln 3}{\ln 2},
onde \ln é o logaritmo natural. Assim a solução pode ser escrita como
x>\dfrac{\ln 3}{\ln 2}.
Observação prática: no exame é perfeitamente aceitável deixar a resposta na forma x>\log_{2}(3). Se quiser uma aproximação numérica, temos \dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1,585.

Passo 6

Resumo do raciocínio para aplicar na prova:
  • Reconhecer que 2^{x} é estritamente crescente (pois base 2>1).
  • Aplicar logaritmo na mesma base (ou natural) nos dois lados, sem inverter a desigualdade.
  • Usar a propriedade \log_{2}(2^{x})=x para isolar x.
  • Opcionalmente, usar mudança de base para obter uma forma com \ln e aproximar numericamente.

Resposta

x>\log_{2}(3)=\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx1,585

Exercícios relacionados