Determine o conjunto solução das inequações:
|1-xx| >= 2-x|x-2|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto de xneq0,2 que satisfaz
|1-xx|>=2-x|x-2|
O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto, e vamos precisar estudar o sinal de x e de x-2 para eliminar os módulos.

Passo 2

Note que
Assim a inequação vira
Para avançar, separamos em dois casos: e .

Passo 3

Caso : temos , logo o lado direito é . A condição fica
Como para todo , essa desigualdade é sempre satisfeita em .

Passo 4

Caso : aqui , logo . A inequação passa a ser
Dividimos em subcasos:
  1. Para : e , então
    o que é sempre verdadeiro. Assim todo entra na solução.
  2. Para : .
    • Se , então e a condição é impossível.
    • Se , então e Logo em sobra o intervalo .

Passo 5

Reunindo todos os intervalos obtidos e lembrando que excluímos x=0 e x=2, o conjunto solução é
(-infty,0),cup,(0,tfrac12],cup,(2,infty)

Resposta

;(-infty,0)cup(0,tfrac12]cup(2,infty)

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