Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
(x+2)(x-3)x(x^2+1)<0

Passo 1

Estamos resolvendo a inequação racional dfrac(x+2)(x-3)x,(x^2+1)<0. O conteúdo aqui é análise de sinal de expressão fracionária: vamos fatorar numerador e denominador, achar os pontos críticos (zeros e singularidades) e montar um teste de sinais para cada intervalo.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador e identificamos os pontos críticos. O numerador já está fatorado em (x+2)(x-3), que zera em x=-2 e x=3. O denominador é x,(x^2+1). Como x^2+1>0 para todo x, o único ponto onde o denominador se anula é x=0, que também torna a expressão indefinida.

Passo 3

Agora dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos -2,0,3 e analisamos o sinal do numerador (x+2)(x-3) em cada um:
  • Para x<-2: escolhemos x=-3, então x+2=-1<0 e x-3=-6<0, logo ((x+2)(x-3)>0.
  • Para (x+2)(x-3)>0 - Para (-2<x<3: escolhemos x=0, então x+2=2>0 e x-3=-3<0, logo ((x+2)(x-3)<0.
  • Para (x+2)(x-3)<0 - Para (x>3: escolhemos x=4, então x+2=6>0 e x-3=1>0, logo

Passo 4

Em seguida, analisamos o sinal do denominador x,(x^2+1). Como x^2+1>0 sempre, o sinal do denominador é apenas o sinal de x:
  • Para x<0: denomínio é negativo.
  • Para x>0: denomínio é positivo.

Passo 5

Juntando os sinais de numerador e denominador em cada intervalo, vemos onde o quociente é negativo (sinais opostos):
  • x<-2: numerador positivo e denominador negativo ⇒ quociente negativo.
  • -2<x<0: numerador negativo e denominador negativo ⇒ quociente positivo.
  • 0<x<3: numerador negativo e denominador positivo ⇒ quociente negativo.
  • x>3: numerador positivo e denominador positivo ⇒ quociente positivo.

Passo 6

Por fim, como a inequação é estrita (<0), excluímos os pontos onde o numerador zera ( x=-2,3) e onde a expressão não existe ( x=0). Isso nos dá os intervalos de solução.

Resposta

( -infty, -2) cup (0,3)

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