Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
Passo 1
Estamos resolvendo a inequação racional
. O conteúdo aqui é análise de sinal de expressão fracionária: vamos fatorar numerador e denominador, achar os pontos críticos (zeros e singularidades) e montar um teste de sinais para cada intervalo.
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador e identificamos os pontos críticos. O numerador já está fatorado em
, que zera em
e
. O denominador é
. Como
para todo
, o único ponto onde o denominador se anula é
, que também torna a expressão indefinida.
Passo 3
Agora dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos
e analisamos o sinal do numerador
em cada um:
- Para
: escolhemos , então e , logo ((x+2)(x-3)>0. - Para
: escolhemos , então e , logo ((x+2)(x-3)<0. - Para
: escolhemos , então e , logo
Passo 4
Em seguida, analisamos o sinal do denominador
. Como
sempre, o sinal do denominador é apenas o sinal de
:
- Para
: denomínio é negativo. - Para
: denomínio é positivo.
Passo 5
Juntando os sinais de numerador e denominador em cada intervalo, vemos onde o quociente é negativo (sinais opostos):
-
: numerador positivo e denominador negativo ⇒ quociente negativo. -
: numerador negativo e denominador negativo ⇒ quociente positivo. -
: numerador negativo e denominador positivo ⇒ quociente negativo. -
: numerador positivo e denominador positivo ⇒ quociente positivo.
Passo 6
Por fim, como a inequação é estrita (<0), excluímos os pontos onde o numerador zera (
) e onde a expressão não existe (
). Isso nos dá os intervalos de solução.