Resolva, para x \in \mathbb{R}, as equações/inequações
3^{x+1} \leqslant 5

Passo 1

O enunciado pede: resolver, para x \in \mathbb{R}, a inequação
3^{x+1} \leqslant 5.
Informações dadas:
  • A base da potência é 3 (maior que 1).
  • O expoente é x+1.
  • O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Logaritmo: para b>0, b\neq1, define-se \log_b a = c exatamente quando b^c = a. Ou seja, \log_b a é o número que devemos elevar b para obter a.
  • Monotonicidade da função exponencial: se a base b>1, a função y=b^t é estritamente crescente em t. Isso significa que, para t_1<t_2, vale b^{t_1}<b^{t_2}. Consequência prática: ao aplicar \log_b (com b>1) em ambos os lados de uma desigualdade entre potências com base b, a direção da desigualdade se mantém (não inverte).
    Esses fatos permitem passar de uma desigualdade exponencial para uma desigualdade envolvendo logaritmos de forma segura.

Passo 3

Aplicando o logaritmo na base 3 (uma escolha natural aqui, porque a base da potência é 3) em ambos os lados da desigualdade. Como a função t\mapsto 3^t é crescente, a desigualdade preserva a direção:
3^{x+1} \leqslant 5 \quad\Longrightarrow\quad \log_3\bigl(3^{x+1}\bigr) \leqslant \log_3 5.
Pelo fato de \log_3(3^{x+1}) = x+1, obtemos a desigualdade mais simples:
x+1 \leqslant \log_3 5.

Passo 4

Isolando x na desigualdade acima:
x \leqslant \log_3 5 - 1.
Essa é a forma exata da solução. Em prova, se for aceitável deixar em forma de logaritmo, essa é uma resposta perfeitamente correta e elegante.

Passo 5

Se quiser um valor numérico aproximado (usando logaritmo natural ou log base 10):
\log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}.
Valores aproximados (usando calculadora):
\ln 5 \approx 1,6094 e \ln 3 \approx 1,0986, então
\log_3 5 \approx \frac{1,6094}{1,0986} \approx 1,4650.
Portanto
x \lesssim 1,4650 - 1 = 0,4650.
Arredondando a três casas decimais, x \leqslant 0,465. Se não puder usar calculadora na prova, entregue a resposta exata com logaritmo.

Resposta

x \leqslant \log_3 5 - 1
x \leqslant 0,465 (aproximação)

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