Resolva, para
, as equações/inequações
Passo 1
O enunciado pede: resolver, para
, a inequação
Informações dadas:
- A base da potência é
(maior que ). - O expoente é
. - O objetivo é encontrar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Logaritmo: para
, , define-se exatamente quando . Ou seja, é o número que devemos elevar para obter . - Monotonicidade da função exponencial: se a base
, a função é estritamente crescente em . Isso significa que, para , vale . Consequência prática: ao aplicar (com ) em ambos os lados de uma desigualdade entre potências com base , a direção da desigualdade se mantém (não inverte).
Esses fatos permitem passar de uma desigualdade exponencial para uma desigualdade envolvendo logaritmos de forma segura.
Passo 3
Aplicando o logaritmo na base
(uma escolha natural aqui, porque a base da potência é
) em ambos os lados da desigualdade. Como a função
é crescente, a desigualdade preserva a direção:
Pelo fato de
, obtemos a desigualdade mais simples:
Passo 4
Isolando
na desigualdade acima:
Essa é a forma exata da solução. Em prova, se for aceitável deixar em forma de logaritmo, essa é uma resposta perfeitamente correta e elegante.
Passo 5
Se quiser um valor numérico aproximado (usando logaritmo natural ou log base 10):
Valores aproximados (usando calculadora):
e
, então
Portanto
Arredondando a três casas decimais,
. Se não puder usar calculadora na prova, entregue a resposta exata com logaritmo.