Determine o conjunto solução das inequações:
x^2-4 x+3x^2-4 x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-4x+3x^2-4x>0
O conteúdo envolve fatoração de polinômios, determinação do domínio (pontos proibidos) e análise do sinal de cada fator em intervalos, montando um quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador e identificamos o domínio.
O numerador é
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),
e o denominador é
x^2-4x = x(x-4)
Logo a expressão fica
(x-1)(x-3)x(x-4)
O domínio exige xneq0 e xneq4 (zeros do denominador). Os pontos críticos para mudança de sinal são então
x=0,;x=1,;x=3,;x=4

Passo 3

Vamos ver o sinal de cada fator em cada um dos intervalos determinados pelos pontos críticos:
– Para x<0:
x-1<0,;x-3<0 Rightarrow numerador (x-1)(x-3)>0.
x<0,;x-4<0 Rightarrow denominador x(x-4)>0.
Portanto a fração é positiva.
– Para 0<x<1:
x-1<0,;x-3<0 Rightarrow numerador >0.
x>0,;x-4<0 Rightarrow denominador <0.
Fração negativa.
– Para 1<x<3:
x-1>0,;x-3<0 Rightarrow numerador <0.
x>0,;x-4<0 Rightarrow denominador <0.
Fração positiva.
– Para 3<x<4:
x-1>0,;x-3>0 Rightarrow numerador >0.
x>0,;x-4<0 Rightarrow denominador <0.
Fração negativa.
– Para x>4:
x-1>0,;x-3>0 Rightarrow numerador >0.
x>0,;x-4>0 Rightarrow denominador >0.
Fração positiva.

Passo 4

Como queremos (x-1)(x-3)x(x-4)>0, selecionamos os intervalos onde a fração é positiva e, por ser estrita, excluímos também os zeros do numerador ( x=1,3) e os do denominador ( x=0,4).

Resposta

O conjunto solução é
(-infty,0),cup,(1,3),cup,(4,infty)

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