O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
y^primeprime + 16,y = 0, y(0)=2, y^prime(0)=-2
O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, obter as raízes (que serão imaginárias) e montar a solução em termos de funções seno e cosseno, ajustando depois as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada ao ODE:
r^2 + 16 = 0
Resolvendo, temos
r^2 = -16 Longrightarrow r = pm 4,i
Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm beta i com alpha=0 e beta=4, a solução geral é combinação de cos(4t) e sin(4t).
Passo 3
Escrevemos a solução geral:
y(t) = C1cos(4t) + C2sin(4t)
Agora precisamos calcular y'(t) para aplicar a condição y'(0)=-2. Derivando,