Resolva o PVI
l y^prime prime+16 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
y^primeprime + 16,y = 0, y(0)=2, y^prime(0)=-2
O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, obter as raízes (que serão imaginárias) e montar a solução em termos de funções seno e cosseno, ajustando depois as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada ao ODE:
r^2 + 16 = 0
Resolvendo, temos
r^2 = -16 Longrightarrow r = pm 4,i
Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm beta i com alpha=0 e beta=4, a solução geral é combinação de cos(4t) e sin(4t).

Passo 3

Escrevemos a solução geral:
y(t) = C1cos(4t) + C2sin(4t)
Agora precisamos calcular y'(t) para aplicar a condição y'(0)=-2. Derivando,
y'(t) = -4,C1sin(4t) + 4,C2cos(4t)

Passo 4

Usamos as condições iniciais:
  1. Em t=0, sin(0)=0 e cos(0)=1, então
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 2
  1. Também em t=0,
y'(0) = -4,C1cdot0 + 4,C2cdot1 = 4,C2 = -2 Longrightarrow C2 = -tfrac12

Passo 5

Substituindo C1=2 e C2=-tfrac12 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(t) = 2cos(4t) - tfrac12,sin(4t)

Resposta

y(t) = 2cos(4t) - tfrac12 sin(4t)

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