Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
3 e^i pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com o número complexo
z = 3e^ipi/2
no plano de Argand. Precisamos:
  1. Converter para a forma x + iy e encontrar Re(z)=x e Im(z)=y.
  2. Calcular o módulo r=|z|.
  3. Determinar um valor do argumento theta.
  4. Fazer o gráfico de z.
  5. Encontrar o conjugado overline z e também fazer o seu gráfico.
O conteúdo envolvido é conversão de forma polar para cartesiana, cálculo de módulo e argumento, e operação de conjugação em números complexos.

Passo 2

Converter z da forma polar para cartesiana usando
e^itheta=costheta + isintheta
Aqui theta=pi/2, logo
z = 3l(cos(tfracpi2) + isin(tfracpi2)r) = 3(0 + icdot1) = 3i
Portanto
Re(z)=0, Im(z)=3

Passo 3

Calcular o módulo de z:
r = |z| = raiz(Re(z))^2 + (Im(z))^2 = raiz0^2 + 3^2 = 3

Passo 4

Determinar um argumento theta. Como z fica no eixo imaginário positivo, um valor natural é
theta = pi2

Passo 5

Gráfico de z:
No plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) o ponto z fica em (0,3). Basta marcar um ponto a 3 unidades acima da origem sobre o eixo imaginário.

Passo 6

Conjugado de z:
overline z = Re(z) - i,Im(z) = 0 - icdot3 = -3i
Na forma retangular overline z = 0 - 3i, isto é (0,-3).

Passo 7

Gráfico de overline z:
No mesmo plano de Argand, marque o ponto em (0,-3), 3 unidades abaixo da origem sobre o eixo imaginário.

Resposta

Para z=3e^ipi/2:
Re(z)=0, Im(z)=3, |z|=3, theta=tfracpi2.
O conjugado é overline z = -3i, com coordenadas (0,-3).

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