Determine o conjunto solução das inequações:
x+12-x-x3+x<0

Passo 1

Opa, olha a parada: a inequação é
x+12-x ;-;x3+x ;<;0
Isso é uma inequação racional. Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. achar o domínio (onde os denominadores não podem ser zero),
  2. juntar tudo numa única fração,
  3. estudar o sinal dessa fração.

Passo 2

Domínio:
  • De 2-xneq0 vem xneq2.
  • De 3+xneq0 vem xneq-3.
    Logo
xinRsetminus-3,2

Passo 3

Junta as duas frações:
x+12-x - x3+x = (x+1)(3+x) ;-; x(2-x)(2-x)(3+x)
Expande o numerador:
(x+1)(x+3)=x^2+4x+3, x(2-x)=2x-x^2,
então
numerador = x^2+4x+3 - (2x - x^2) = 2x^2+2x+3
A inequação fica
2x^2+2x+3(2-x)(3+x)<0

Passo 4

Repara que 2x^2+2x+3 é um quadrático com De<a=4-24=-20<0 e coeficiente líder +2, então ele é sempre positivo. Logo o sinal da fração vem só de (2-x)(3+x). Como
(2-x)=-(x-2),
a gente escreve
2x^2+2x+3(2-x)(3+x) = -2x^2+2x+3(x-2)(x+3)
Isso transforma a inequação em
-2x^2+2x+3(x-2)(x+3)<0 Long<=ftrightarrow 2x^2+2x+3(x-2)(x+3)>0,
pois ao multiplicar por -1 a desigualdade inverte.

Passo 5

Como o numerador é sempre positivo, basta que
(x-2)(x+3)>0
O produto é positivo quando x<-3 ou x>2. Considerando que a gente já excluiu -3 e 2, o resultado final é
(-infty,-3),cup,(2,infty)

Resposta

(-infty,-3)cup(2,infty)

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