Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
(e^x+e^x) d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
l(e^x+e^xr),dydx=y^2
pelo método de separação de variáveis. Isso significa reescrever a derivada de modo a ter todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Primeiro simplificamos a soma
e^x+e^x=2e^x,
logo a equação fica
2e^x,dydx=y^2 Longrightarrow dydx=y^22e^x

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x:
dyy^2 =dx2e^x

Passo 4

Integramos cada lado:
integral dyy^2 =integral dx2e^x
No lado esquerdo integral y^-2dy=-y^-1.
No lado direito integral 12e^-xdx=-12e^-x.
Adicionando a constante de integração C, obtemos
-,1y =-12e^-x+C

Passo 5

Isolando tfrac1y e invertendo, temos
1y =12e^-x-C Longrightarrow y=1tfrac12e^-x-C
Renomeando a constante -C por C1, a solução geral fica
y(x) =1tfrac12e^-x+C1 =2e^-x+2C1

Resposta

y(x)=2e^-x+K,
onde K é constante arbitrária.

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