Mostre que dois números inteiros da forma
e
são sempre primos entre si.
Mostre que se
é um número ímpar, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre máximos divisores comuns (mdc ou gcd):
- Para todo inteiro
, . - Se
é ímpar, então .
Para resolver usamos o algoritmo de Euclides, que diz quepara qualquer inteiro .
Passo 2
Calcular
via Euclides:
Como
para todo inteiro
, concluímos
.
Passo 3
Calcular
via Euclides:
Passo 4
Se
é ímpar, então os únicos divisores comuns de
e
são
, logo
. Assim
.
Resposta
Concluímos que para todo inteiro
vale
e, se
é ímpar, então
.