Mostre que dois números inteiros da forma n e 2 n+1 são sempre primos entre si.
Mostre que se n é um número ímpar, então mdc(n, 2 n+2)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre máximos divisores comuns (mdc ou gcd):
  1. Para todo inteiro n, gcd(n,2n+1)=1.
  2. Se n é ímpar, então gcd(n,2n+2)=1.
    Para resolver usamos o algoritmo de Euclides, que diz que gcd(a,b)=gcd(a,b - k,a) para qualquer inteiro k.

Passo 2

Calcular gcd(n,2n+1) via Euclides:
gcd(n,2n+1) =gcdl(n,,(2n+1)-2cdot nr) =gcd(n,1)
Como gcd(n,1)=1 para todo inteiro n, concluímos gcd(n,2n+1)=1.

Passo 3

Calcular gcd(n,2n+2) via Euclides:
gcd(n,2n+2) =gcdl(n,,(2n+2)-2cdot nr) =gcd(n,2)

Passo 4

Se n é ímpar, então os únicos divisores comuns de n e 2 são pm1, logo gcd(n,2)=1. Assim gcd(n,2n+2)=1.

Resposta

Concluímos que para todo inteiro n vale gcd(n,2n+1)=1 e, se n é ímpar, então gcd(n,2n+2)=1.

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