Mostre que dois números inteiros da forma n e 2 n+1 são sempre primos entre si.
Mostre que dois números inteiros da forma n e 2 n+1 são sempre primos entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro n, os números n e 2n+1 não têm nenhum divisor inteiro comum além de 1. Em outras palavras, devemos provar que
gcdl(n,,2n+1r)=1
O método mais direto é usar o Algoritmo de Euclides ou a propriedade de que qualquer divisor comum de dois números também divide a diferença entre eles.

Passo 2

Pelo Algoritmo de Euclides,
gcdl(n,,2n+1r) =gcdl(n,, (2n+1)-2cdot n r) =gcdl(n,,1r)
Aqui usamos que o resto da divisão de 2n+1 por n é exatamente 1.

Passo 3

Como gcd(n,1)=1 para todo inteiro n, segue que
gcdl(n,,2n+1r)=1
Logo, n e 2n+1 são primos entre si.

Resposta

gcd(n,2n+1)=1, portanto n e 2n+1 são sempre primos entre si.

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