Mostre que dois números inteiros da forma
e
são sempre primos entre si.
Mostre que dois números inteiros da forma
e
são sempre primos entre si.
Mostre que dois números inteiros da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro
, os números
e
não têm nenhum divisor inteiro comum além de
. Em outras palavras, devemos provar que
O método mais direto é usar o Algoritmo de Euclides ou a propriedade de que qualquer divisor comum de dois números também divide a diferença entre eles.
Passo 2
Pelo Algoritmo de Euclides,
Aqui usamos que o resto da divisão de
por
é exatamente
.
Passo 3
Como
para todo inteiro
, segue que
Logo,
e
são primos entre si.