Encontre a solução geral da EDO dada.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^3 x,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^3x
O que faremos é: (1) achar a solução geral da homogênea associada, resolvendo a equação característica; (2) obter uma particular usando o método dos coeficientes a determinar; (3) somar homogênea e particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' - 3y = 0
e formamos a equação característica
m^2 - 2m - 3 = 0
Resolvendo,
m = 2pmraiz4 +122 = 2pm42,
logo m1=3 e m2=-1. Assim a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Para a particular, o lado direito é 3e^3x. Se tentássemos A e^3x, isso coincide com o termo e^3x da homogênea. Então multiplicamos por x e assumimos
yp(x) = A,x e^3x
Calculamos as derivadas:
yp' = A e^3x + 3A x e^3x, yp'' = 3A e^3x + 3A e^3x + 9A x e^3x = 6A e^3x + 9A x e^3x
Substituindo em y''-2y'-3y:
yp'' -2yp' -3yp = l(6A +9A xr)e^3x -2l(A +3A xr)e^3x -3l(A xr)e^3x
Agrupando termos em x e constantes:
= e^3xl[(6A-2A) + (9A-6A-3A)xr] = e^3x(4A + 0cdot x) =4A,e^3x
Igualamos ao forçante 3e^3x, obtendo 4A=3 e assim
A = 34
Logo
yp(x) = 34,x e^3x

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + 34,x e^3x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + 34,x e^3x

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