Encontre a solução geral da EDO dada.
,
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que faremos é: (1) achar a solução geral da homogênea associada, resolvendo a equação característica; (2) obter uma particular usando o método dos coeficientes a determinar; (3) somar homogênea e particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e formamos a equação característica
Resolvendo,
logo
e
. Assim a solução homogênea é
Passo 3
Para a particular, o lado direito é
. Se tentássemos
, isso coincide com o termo
da homogênea. Então multiplicamos por
e assumimos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e constantes:
Igualamos ao forçante
, obtendo
e assim
Logo
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: