Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
(D-2)\left(D^{2}-5 D+6\right)^{2}\left(D^{2}-2 D+2\right)^{2} \omega=0

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de soluções linearmente independentes para a EDO
(D-2)\bigl(D^{2}-5D+6\bigr)^{2}\bigl(D^{2}-2D+2\bigr)^{2}\,\omega=0.
Este é um problema de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica do polinômio característico: substituir D por r, fatorar o polinômio e gerar as soluções de acordo com as raízes e suas multiplicidades.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
(r-2)\bigl(r^{2}-5r+6\bigr)^{2}\bigl(r^{2}-2r+2\bigr)^{2}=0.
Repare que r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3). Assim
(r-2)\,(r-2)^{2}\,(r-3)^{2}\,(r^{2}-2r+2)^{2}=(r-2)^{3}(r-3)^{2}(r^{2}-2r+2)^{2}=0.

Passo 3

Das fatorações, obtemos as raízes e suas multiplicidades:
r=2 com multiplicidade 3.
r=3 com multiplicidade 2.
– As raízes do quadrático r^{2}-2r+2=0 são
r=1\pm i,
cada uma com multiplicidade 2.

Passo 4

Para cada raiz real r_{0} de multiplicidade m, sabemos que as soluções são
e^{r_{0}t},\;t\,e^{r_{0}t},\;\dots,\;t^{m-1}e^{r_{0}t}.
– Para r=2, multiplicidade 3, geramos
e^{2t},\quad t\,e^{2t},\quad t^{2}e^{2t}.
– Para r=3, multiplicidade 2, geramos
e^{3t},\quad t\,e^{3t}.

Passo 5

Para o par complexo r=1\pm i com multiplicidade 2, usamos a forma real. Denotando \alpha=1 e \beta=1, as soluções são
e^{\alpha t}\cos(\beta t),\quad e^{\alpha t}\sin(\beta t)
(da parte de multiplicidade 1) e
t\,e^{\alpha t}\cos(\beta t),\quad t\,e^{\alpha t}\sin(\beta t)
(da parte de multiplicidade 2). Ou seja,
e^{t}\cos t,\quad e^{t}\sin t,\quad t\,e^{t}\cos t,\quad t\,e^{t}\sin t.

Resposta

Um conjunto de soluções linearmente independentes é:
\bigl\{e^{2t},\;t\,e^{2t},\;t^{2}e^{2t},\;e^{3t},\;t\,e^{3t},\;e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;t\,e^{t}\cos t,\;t\,e^{t}\sin t\bigr\}.

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