Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede um conjunto de soluções linearmente independentes para a EDO
Este é um problema de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica do polinômio característico: substituir
por
, fatorar o polinômio e gerar as soluções de acordo com as raízes e suas multiplicidades.
Passo 2
Formamos o polinômio característico
Repare que
. Assim
Passo 3
Das fatorações, obtemos as raízes e suas multiplicidades:
– com multiplicidade
.
– com multiplicidade
.
– As raízes do quadrático são
–
–
– As raízes do quadrático
cada uma com multiplicidade
.
Passo 4
Para cada raiz real
de multiplicidade
, sabemos que as soluções são
– Para
, multiplicidade
, geramos
– Para
, multiplicidade
, geramos
Passo 5
Para o par complexo
com multiplicidade
, usamos a forma real. Denotando
e
, as soluções são
(da parte de multiplicidade 1) e
(da parte de multiplicidade 2). Ou seja,
Resposta
Um conjunto de soluções linearmente independentes é: