Determine uma solução particular para as seguintes EDOs:
\left(D^{2}-6 D+8\right) \omega=f(x)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação
(D^{2}-6D+8)\,\omega=f(x)
onde D=\frac{d}{dx}.
O conteúdo que vamos usar é a fatoração do operador diferencial e a construção da função de Green (ou método de variação de parâmetros) para EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Fatoramos o polinômio diferencial:
D^{2}-6D+8=(D-2)(D-4).
Logo a equação fica
(D-2)(D-4)\,\omega=f(x).

Passo 3

Introduzimos uma função auxiliar v(x) definida por
v(x)=(D-4)\,\omega(x).
Então a equação original torna-se
(D-2)\,v(x)=f(x),
isto é,
v'(x)-2\,v(x)=f(x).

Passo 4

Para resolver v'(x)-2v(x)=f(x) usamos fator integrante e^{-2x}. Multiplicando a equação por e^{-2x} e integrando, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}v(x)\bigr) =e^{-2x}f(x) \quad\Longrightarrow\quad e^{-2x}v(x)=\int e^{-2x}f(x)\,dx.
Assim
v(x)=e^{2x}\int^{x}e^{-2s}f(s)\,ds.

Passo 5

Agora voltamos à relação v=(D-4)\omega, isto é,
\omega'(x)-4\,\omega(x)=v(x).
Usamos outro fator integrante e^{-4x}. Multiplicando e integrando,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}\omega(x)\bigr) =e^{-4x}v(x) \quad\Longrightarrow\quad e^{-4x}\omega(x)=\int e^{-4x}v(x)\,dx.
Substituindo v(x),
\omega(x) =e^{4x}\int^{x}e^{-4s}\Bigl[e^{2s}\!\!\int^{s}e^{-2t}f(t)\,dt\Bigr]ds.

Passo 6

Fazendo a troca de ordem de integração (ou reconhecendo convolução com o núcleo da função de Green), chega-se à forma simples de solução particular:
\omega_{p}(x) =\frac12\int_{x_{0}}^{\,x}\bigl(e^{4(x-s)}-e^{2(x-s)}\bigr)\,f(s)\,ds,
onde x_{0} é um ponto fixo (por exemplo 0) escolhido para a condição inicial da integral.

Resposta

Uma solução particular é
\boxed{ \omega_{p}(x) =\frac12\int_{x_{0}}^{\,x}\bigl(e^{4(x-s)}-e^{2(x-s)}\bigr)\,f(s)\,ds. }

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