Determine uma solução particular para as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a equação
onde
.
O conteúdo que vamos usar é a fatoração do operador diferencial e a construção da função de Green (ou método de variação de parâmetros) para EDOs lineares com coeficientes constantes.
O conteúdo que vamos usar é a fatoração do operador diferencial e a construção da função de Green (ou método de variação de parâmetros) para EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Fatoramos o polinômio diferencial:
Logo a equação fica
Passo 3
Introduzimos uma função auxiliar
definida por
Então a equação original torna-se
isto é,
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando a equação por
e integrando, obtemos
Assim
Passo 5
Agora voltamos à relação
, isto é,
Usamos outro fator integrante
. Multiplicando e integrando,
Substituindo
,
Passo 6
Fazendo a troca de ordem de integração (ou reconhecendo convolução com o núcleo da função de Green), chega-se à forma simples de solução particular:
onde
é um ponto fixo (por exemplo
) escolhido para a condição inicial da integral.
Resposta
Uma solução particular é