Determine uma solução particular para as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a EDO com coeficientes constantes
O conteúdo é “EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes”. Para resolver vamos usar o método de variação de parâmetros, que pressupõe conhecer as soluções da homogênea e depois determina funções variáveis que geram a parte particular.
Passo 2
Primeiro achamos as soluções da equação homogênea
A equação característica é
cujas raízes são
Logo duas soluções lineares independentes são
Passo 3
No método de variação de parâmetros postulamos
onde
satisfazem o sistema
O Wronskiano das soluções homogêneas vale
Assim as fórmulas padrão dão
Passo 4
Integramos para obter
. Escolhendo a constante de integração de modo que
, temos
Substituindo em
resulta
No integrando combinam-se termos em seno e cosseno para dar seno da diferença de ângulos.
Passo 5
Fazendo a álgebra dentro do integral obtém-se a forma de convolução
Isso é uma solução particular qualquer, válida para condições iniciais nulas no ponto zero.