Determine uma solução particular para as seguintes EDOs:
\left(D^{2}-2 D+2\right) \omega=f(x)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a EDO com coeficientes constantes
\bigl(D^{2}-2D+2\bigr)\,\omega=f(x).
O conteúdo é “EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes”. Para resolver vamos usar o método de variação de parâmetros, que pressupõe conhecer as soluções da homogênea e depois determina funções variáveis que geram a parte particular.

Passo 2

Primeiro achamos as soluções da equação homogênea
(D^{2}-2D+2)\,y=0.
A equação característica é
\lambda^{2}-2\lambda+2=0
cujas raízes são
\lambda=1\pm i.
Logo duas soluções lineares independentes são
y_{1}(x)=e^{x}\cos x \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=e^{x}\sin x.

Passo 3

No método de variação de parâmetros postulamos
\omega_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} satisfazem o sistema
\begin{cases} y_{1}\,u_{1}'+y_{2}\,u_{2}'=0,\\\ y_{1}'\,u_{1}'+y_{2}'\,u_{2}'=f(x). \end{cases}
O Wronskiano das soluções homogêneas vale
W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'=e^{2x}.
Assim as fórmulas padrão dão
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,f(x)}{W} =-e^{-x}\sin x\,f(x), \qquad u_{2}'=\frac{y_{1}\,f(x)}{W} =e^{-x}\cos x\,f(x).

Passo 4

Integramos para obter u_{1},u_{2}. Escolhendo a constante de integração de modo que \;u_{1}(0)=u_{2}(0)=0, temos
u_{1}(x)=-\int_{0}^{x}e^{-s}\sin s\,f(s)\,ds, \qquad u_{2}(x)=\int_{0}^{x}e^{-s}\cos s\,f(s)\,ds.
Substituindo em \omega_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} resulta
\omega_{p}(x) =e^{x}\cos x\Bigl(-\!\int_{0}^{x}e^{-s}\sin s\,f(s)\,ds\Bigr) +e^{x}\sin x\Bigl(\int_{0}^{x}e^{-s}\cos s\,f(s)\,ds\Bigr).
No integrando combinam-se termos em seno e cosseno para dar seno da diferença de ângulos.

Passo 5

Fazendo a álgebra dentro do integral obtém-se a forma de convolução
\omega_{p}(x) =\int_{0}^{x}e^{\,x-s}\,\sin\bigl(x-s\bigr)\,f(s)\,ds.
Isso é uma solução particular qualquer, válida para condições iniciais nulas no ponto zero.

Resposta

\boxed{ \omega_{p}(x) =\int_{0}^{x}e^{\,x-s}\,\sin\bigl(x-s\bigr)\,f(s)\,ds. }

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