Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
\left(D^{2}-2 D+2\right)^{2}(D+1)^{4} \omega=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções fundamentais (ou seja, um conjunto de soluções linearmente independentes) da EDO homogênea
\bigl(D^{2}-2D+2\bigr)^{2}\,(D+1)^{4}\,\omega=0.
O método padrão é passar para a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir das multiplicidades, montar as soluções do tipo x^{k}e^{rx} (e, no caso de raízes complexas conjugadas, converter em termos de \cos e \sin).

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo D\mapsto r:
\bigl(r^{2}-2r+2\bigr)^{2}\,(r+1)^{4}=0.
As raízes são:
  1. r=-1 com multiplicidade 4.
  2. As raízes de r^{2}-2r+2=0, que são
r=1\pm i,
cada uma com multiplicidade 2.

Passo 3

Para a raiz real r=-1 de multiplicidade 4, as quatro soluções associadas são
e^{-x},\quad x e^{-x},\quad x^{2}e^{-x},\quad x^{3}e^{-x}.
Isso decorre do fato de que, para um autovalor real de multiplicidade m, introduzimos os fatores x^{0},x^{1},\dots,x^{m-1} multiplicando e^{rx}.

Passo 4

Para as raízes complexas r=1\pm i de multiplicidade 2, primeiro lembramos que uma raiz simples 1\pm i gera as soluções complexas e^{(1+i)x} e e^{(1-i)x}, equivalentes em real a
e^{x}\cos x,\quad e^{x}\sin x.
Como a multiplicidade é 2, precisamos também das soluções com fator x:
x\,e^{(1+i)x},\quad x\,e^{(1-i)x},
que em forma real correspondem a
x\,e^{x}\cos x,\quad x\,e^{x}\sin x.
Assim, obtemos quatro soluções reais independentes a partir desse par de raízes complexas.

Resposta

Um conjunto de soluções linearmente independentes é
e^{-x},\quad x e^{-x},\quad x^{2}e^{-x},\quad x^{3}e^{-x},\quad e^{x}\cos x,\quad e^{x}\sin x,\quad x\,e^{x}\cos x,\quad x\,e^{x}\sin x.

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