Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede as soluções fundamentais (ou seja, um conjunto de soluções linearmente independentes) da EDO homogênea
O método padrão é passar para a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir das multiplicidades, montar as soluções do tipo
(e, no caso de raízes complexas conjugadas, converter em termos de
e
).
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo
:
As raízes são:
-
com multiplicidade . - As raízes de
, que são
cada uma com multiplicidade
.
Passo 3
Para a raiz real
de multiplicidade
, as quatro soluções associadas são
Isso decorre do fato de que, para um autovalor real de multiplicidade
, introduzimos os fatores
multiplicando
.
Passo 4
Para as raízes complexas
de multiplicidade
, primeiro lembramos que uma raiz simples
gera as soluções complexas
e
, equivalentes em real a
Como a multiplicidade é
, precisamos também das soluções com fator
:
que em forma real correspondem a
Assim, obtemos quatro soluções reais independentes a partir desse par de raízes complexas.
Resposta
Um conjunto de soluções linearmente independentes é