Determine o conjunto solução de
Explique geometricamente o significado dessa desigualdade.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede o conjunto solução dessa desigualdade.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Há dois valores onde os módulos mudam de sinal:
(de ) e (de ). - A desigualdade é estrita (
), então pontos que façam a soma igual a serão excluídos.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): quando aparece soma de módulos em uma variável real, é prático dividir a reta em intervalos determinados pelos pontos onde cada expressão dentro do módulo muda de sinal. Aqui esses pontos são
e
. Em cada intervalo as expressões
e
têm sinais fixos, então podemos remover os módulos substituindo por
ou
conforme o sinal e resolver a desigualdade resultante. Vou separar os casos:
- Caso A:
. - Caso B:
. - Caso C:
.
Passo 3
Caso A:
.
Nessas temos
e
, então
Nessas
A soma é
A desigualdade fica
Resolvendo:
Combine isso com a condição do caso (
). Assim, no caso A as soluções são
Passo 4
Caso B:
.
Nessas temos
e
, então
Nessas
A soma é
A desigualdade fica
que é verdadeira para todo
com
. Portanto todo o intervalo
está na solução.
Passo 5
Caso C:
.
Nessas temos
e
, então
Nessas
A soma é
A desigualdade fica
Resolvendo:
Combine isso com a condição do caso (
). Assim, no caso C as soluções são
Passo 6
Juntando as soluções dos três casos:
- do caso A:
, - do caso B:
, - do caso C:
.
Unindo os intervalos obtemos
Verificação rápida das bordas: em
e em
a soma vale exatamente
, então são excluídos; em
e
a soma vale
, então estão incluídos — tudo consistente com
.
Passo 7
Interpretação geométrica (didática e intuitiva):
Para um ponto na reta real, o valor
é a distância de
até o ponto
, e
é a distância de
até o ponto
. Portanto a expressão
Para um ponto
é a soma das distâncias de
aos pontos
e
. A desigualdade pede os pontos
cuja soma dessas distâncias é menor que
.
Observação geométrica prática:
- Se
estiver entre e , a soma das distâncias é exatamente a distância entre e , que é . Por isso todo o segmento tem soma igual a (o mínimo possível). - Se
sai para a esquerda de deslocando-se uma distância , a soma aumenta em (porque fica mais longe de cada ponto), portanto a soma passa a ser . Para manter menor que precisamos , isto é , o que dá . - Analogamente, para a direita de
um deslocamento dá soma , o que dá .
Essas observações geométricas também levam direto ao intervalo
: são os pontos da reta cuja soma das distâncias aos pontos fixos
e
é menor que
.