Determine o conjunto solução de
|x+1|+|x-3|<8
Explique geometricamente o significado dessa desigualdade.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
|x+1|+|x-3|<8
e pede o conjunto solução dessa desigualdade.
Informações relevantes do enunciado:
  • Há dois valores onde os módulos mudam de sinal: x=-1 (de x+1) e x=3 (de x-3).
  • A desigualdade é estrita ( <8), então pontos que façam a soma igual a 8 serão excluídos.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): quando aparece soma de módulos em uma variável real, é prático dividir a reta em intervalos determinados pelos pontos onde cada expressão dentro do módulo muda de sinal. Aqui esses pontos são x=-1 e x=3. Em cada intervalo as expressões x+1 e x-3 têm sinais fixos, então podemos remover os módulos substituindo por + ou - conforme o sinal e resolver a desigualdade resultante. Vou separar os casos:
  • Caso A: x\le -1.
  • Caso B: -1\le x\le 3.
  • Caso C: x\ge 3.

Passo 3

Caso A: x\le -1.
Nessas x temos x+1\le0 e x-3\le0, então
|x+1|=-(x+1)=-x-1,\qquad |x-3|=-(x-3)=-x+3.
A soma é
|x+1|+|x-3| = (-x-1)+(-x+3) = -2x+2.
A desigualdade fica
-2x+2<8.
Resolvendo:
-2x<6 \quad\Rightarrow\quad x>-3.
Combine isso com a condição do caso ( x\le -1). Assim, no caso A as soluções são
-3<x\le -1.

Passo 4

Caso B: -1\le x\le 3.
Nessas x temos x+1\ge0 e x-3\le0, então
|x+1|=x+1,\qquad |x-3|=-(x-3)=-x+3.
A soma é
|x+1|+|x-3|=(x+1)+(-x+3)=4.
A desigualdade fica
4<8,
que é verdadeira para todo x com -1\le x\le 3. Portanto todo o intervalo [-1,3] está na solução.

Passo 5

Caso C: x\ge 3.
Nessas x temos x+1\ge0 e x-3\ge0, então
|x+1|=x+1,\qquad |x-3|=x-3.
A soma é
|x+1|+|x-3|=(x+1)+(x-3)=2x-2.
A desigualdade fica
2x-2<8.
Resolvendo:
2x<10 \quad\Rightarrow\quad x<5.
Combine isso com a condição do caso ( x\ge 3). Assim, no caso C as soluções são
3\le x<5.

Passo 6

Juntando as soluções dos três casos:
  • do caso A: -3<x\le -1,
  • do caso B: [-1,3],
  • do caso C: 3\le x<5.
Unindo os intervalos obtemos
(-3,5).
Verificação rápida das bordas: em x=-3 e em x=5 a soma vale exatamente 8, então são excluídos; em x=-1 e x=3 a soma vale 4<8, então estão incluídos — tudo consistente com (-3,5).

Passo 7

Interpretação geométrica (didática e intuitiva):
Para um ponto x na reta real, o valor |x+1| é a distância de x até o ponto -1, e |x-3| é a distância de x até o ponto 3. Portanto a expressão
|x+1|+|x-3|
é a soma das distâncias de x aos pontos -1 e 3. A desigualdade pede os pontos x cuja soma dessas distâncias é menor que 8.
Observação geométrica prática:
  • Se x estiver entre -1 e 3, a soma das distâncias é exatamente a distância entre -1 e 3, que é 4. Por isso todo o segmento [-1,3] tem soma igual a 4 (o mínimo possível).
  • Se x sai para a esquerda de -1 deslocando-se uma distância t>0, a soma aumenta em 2t (porque x fica t mais longe de cada ponto), portanto a soma passa a ser 4+2t. Para manter menor que 8 precisamos 4+2t<8, isto é t<2, o que dá x>-3.
  • Analogamente, para a direita de 3 um deslocamento t>0 dá soma 4+2t<8\Rightarrow t<2, o que dá x<5.
Essas observações geométricas também levam direto ao intervalo (-3,5): são os pontos da reta cuja soma das distâncias aos pontos fixos -1 e 3 é menor que 8.

Resposta

(-3,5)

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