Resolva em \mathbb{R} :
\frac{x-2}{x+1}>0, \quad \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4} \leq 0, \quad \frac{(x-1)^{2}(x+3)}{x(x-4)} \geq 0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, as três desigualdades abaixo:
\frac{x-2}{x+1}>0,\qquad \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4}\leq 0,\qquad \frac{(x-1)^{2}(x+3)}{x(x-4)}\geq 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Na primeira expressão o numerador é x-2 e o denominador é x+1. O denominador anula-se em x=-1 (valor proibido).
  • Na segunda expressão o numerador é x^{2}-9=(x-3)(x+3) e o denominador é x^{2}-4=(x-2)(x+2). O denominador anula-se em x=\pm 2 (valores proibidos). O numerador anula-se em x=\pm 3.
  • Na terceira expressão o numerador é (x-1)^{2}(x+3) (zeros em x=1 com multiplicidade 2 e em x=-3 com multiplicidade 1) e o denominador é x(x-4) (zeros em x=0 e x=4, proibidos). A desigualdade é do tipo “ \geq 0” (zerar a expressão também vale).
  • Cada expressão racional está indefinida quando o denominador é zero; esses pontos devem ser excluídos do conjunto solução.

Passo 2

Breve aula rápida sobre como resolver desigualdades racionais (ferramenta que será usada passo a passo):
  • Para resolver uma desigualdade do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)}\\ (\star) com P e Q polinômios, os passos padrão são:
    1. Encontrar os pontos críticos: zeros de P(x) (onde a expressão pode ser zero) e zeros de Q(x) (onde a expressão é indefinida).
    2. Ordenar esses pontos na reta real e dividir a reta em intervalos entre eles.
    3. Em cada intervalo, o sinal da expressão (\star) é constante; escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal.
    4. Levar em conta a multiplicidade dos zeros do numerador: se um zero tem multiplicidade par, o sinal não troca ao atravessá‑lo; se ímpar, o sinal troca. Zeros do denominador nunca são incluídos na solução (expressão indefinida).
    5. Para desigualdades “ \leq” ou “ \geq”, incluir pontos onde o numerador é zero (desde que o denominador não zere aí). Para “>” ou “<” excluir zeros do numerador.
  • Exemplo simples: \dfrac{x-2}{x+1}>0. Os críticos são x=2 (numerador) e x=-1 (denominador); testar intervalos dá a solução.
Agora aplico esse método às três desigualdades do enunciado.

Passo 3

Resolvendo a primeira desigualdade \displaystyle \frac{x-2}{x+1}>0.
  1. Identificar pontos críticos:
  • Numerador x-2=0 em x=2.
  • Denominador x+1=0 em x=-1 (proibido).
  1. Dividir a reta pelos pontos -1 e 2 em intervalos:
(-\infty,-1),\quad (-1,2),\quad (2,\infty).
  1. Testar o sinal em cada intervalo (escolhendo pontos fáceis):
  • Em x=-2\in(-\infty,-1): \dfrac{-2-2}{-2+1}=\dfrac{-4}{-1}=4>0. Logo o sinal é positivo nesse intervalo.
  • Em x=0\in(-1,2): \dfrac{0-2}{0+1}=\dfrac{-2}{1}=-2<0. Sinal negativo nesse intervalo.
  • Em x=3\in(2,\infty): \dfrac{3-2}{3+1}=\dfrac{1}{4}>0. Sinal positivo nesse intervalo.
  1. Como a desigualdade é estrita “>,0”, não incluímos pontos onde a expressão é zero (isto é, x=2 fica excluído). Também x=-1 é excluído por anularem o denominador.
  2. Conclusão para a primeira:
\text{Solução: }\quad \left(-\infty,-1\right)\cup\left(2,\infty\right).çã

Passo 4

Resolvendo a segunda desigualdade \displaystyle \frac{x^{2}-9}{x^{2}-4}\leq 0.
  1. Fatorar:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),\qquad x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  1. Identificar pontos críticos:
  • Zeros do numerador: x=-3 e x=3 (neste pontos a fração pode ser 0 e, como é “ \leq”, serão candidatos a inclusão, desde que o denominador não seja zero aí).
  • Zeros do denominador: x=-2 e x=2 (proibidos).
  1. Ordenar e formar intervalos:
(-\infty,-3),\;(-3,-2),\;(-2,2),\;(2,3),\;(3,\infty).
  1. Determinar sinais por teste em cada intervalo:
  • Em x=-4\in(-\infty,-3): x^{2}-9=7>0, x^{2}-4=12>0 \Rightarrow fração >0.
  • Em x=-2{,}5\in(-3,-2): x^{2}-9<0, x^{2}-4>0 \Rightarrow fração <0.
  • Em x=0\in(-2,2): x^{2}-9<0, x^{2}-4<0 \Rightarrow fração >0 (negativo/negativo é positivo).
  • Em x=2{,}5\in(2,3): x^{2}-9<0, x^{2}-4>0 \Rightarrow fração <0.
  • Em x=4\in(3,\infty): x^{2}-9>0, x^{2}-4>0 \Rightarrow fração >0.
  1. Incluir/excluir pontos:
  • Como a desigualdade é “ \leq 0”, incluímos os zeros do numerador x=-3 e x=3 (ambos têm denominador não nulo).
  • Excluímos x=\pm 2 porque anulam o denominador.
  1. Conclusão para a segunda:
    Os intervalos em que a fração é \leq 0 são [-3,-2) (inclui -3, exclui -2) e (2,3] (exclui 2, inclui 3). Portanto
\text{Solução: }\quad [-3,-2)\cup(2,3].çã

Passo 5

Resolvendo a terceira desigualdade \displaystyle \frac{(x-1)^{2}(x+3)}{x(x-4)}\geq 0.
  1. Identificar fatores e multiplicidades:
  • Numerador: (x-1)^{2} tem zero em x=1 com multiplicidade 2 (par), e x+3 tem zero em x=-3 com multiplicidade 1 (ímpar).
  • Denominador: x anula em x=0 (proibido), x-4 anula em x=4 (proibido).
  1. Pontos críticos ordenados:
(-\infty,-3),\; -3,\;(-3,0),\;0,\;(0,1),\;1,\;(1,4),\;4,\;(4,\infty).
  1. Observação sobre a multiplicidade:
  • Um zero de multiplicidade par (aqui x=1) não troca o sinal da expressão ao atravessá‑lo — o sinal ao lado esquerdo e direito de x=1 será o mesmo, e o valor no ponto será 0.
  • Um zero de multiplicidade ímpar (aqui x=-3) troca o sinal.
  1. Em vez de testar todos os fatores combinados, nota útil: (x-1)^{2} é sempre \geq 0 e estritamente >0 para x\neq 1. Assim o sinal da fração para x\neq 1 é dado por
\text{sign}\!\left(\frac{(x-1)^{2}(x+3)}{x(x-4)}\right)=\text{sign}\bigl(x+3\bigr)\cdot\text{sign}\bigl(x(x-4)\bigr),
porque (x-1)^{2}>0 fora de x=1.
  1. Determinar o sinal de x(x-4):
  • Para x<0: x<0 e x-4<0 \Rightarrow produto >0.
  • Para 0<x<4: x>0 e x-4<0 \Rightarrow produto <0.
  • Para x>4: ambos positivos \Rightarrow produto >0.
  1. Avaliar sinal da fração em cada intervalo (usando a regra do passo anterior):
  • Para x<-3: x+3<0 e x(x-4)>0 \Rightarrow fração <0.
  • Em x=-3: numerador nulo \Rightarrow fração =0 (denominador \neq 0), e como é “ \geq 0” inclui-se x=-3.
  • Para -3<x<0: x+3>0, x(x-4)>0 \Rightarrow fração >0.
  • Em x=0: denominador 0 (proibido), excluir.
  • Para 0<x<1: x+3>0, x(x-4)<0 \Rightarrow fração <0.
  • Em x=1: numerador 0 (pois (1-1)^2=0), denominador \neq 0, fração =0. Como a desigualdade é “ \geq 0”, x=1 é incluído.
  • Para 1<x<4: x+3>0, x(x-4)<0 \Rightarrow fração <0.
  • Em x=4: denominador 0 (proibido), excluir.
  • Para x>4: x+3>0, x(x-4)>0 \Rightarrow fração >0.
  1. Juntando os intervalos onde a fração é \geq 0:
  • Inclui x=-3.
  • Inclui todo (-3,0).
  • Exclui 0.
  • Em (0,1) e (1,4) o sinal é negativo; apenas x=1 é incluido (fração =0).
  • Exclui 4.
  • Inclui (4,\infty).
  1. Conclusão para a terceira:
\text{Solução: }\quad [-3,0)\cup\{1\}\cup(4,\infty).çã

Resposta

\left(-\infty,-1\right)\cup\left(2,\infty\right)\
[ -3,-2)\cup(2,3]\
[ -3,0)\cup\{1\}\cup(4,\infty)

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