Resolva em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, as três desigualdades abaixo:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Na primeira expressão o numerador é
e o denominador é . O denominador anula-se em (valor proibido). - Na segunda expressão o numerador é
e o denominador é . O denominador anula-se em (valores proibidos). O numerador anula-se em . - Na terceira expressão o numerador é
(zeros em com multiplicidade e em com multiplicidade ) e o denominador é (zeros em e , proibidos). A desigualdade é do tipo “ ” (zerar a expressão também vale). - Cada expressão racional está indefinida quando o denominador é zero; esses pontos devem ser excluídos do conjunto solução.
Passo 2
Breve aula rápida sobre como resolver desigualdades racionais (ferramenta que será usada passo a passo):
- Para resolver uma desigualdade do tipo
com e polinômios, os passos padrão são: - Encontrar os pontos críticos: zeros de
(onde a expressão pode ser zero) e zeros de (onde a expressão é indefinida). - Ordenar esses pontos na reta real e dividir a reta em intervalos entre eles.
- Em cada intervalo, o sinal da expressão
é constante; escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal. - Levar em conta a multiplicidade dos zeros do numerador: se um zero tem multiplicidade par, o sinal não troca ao atravessá‑lo; se ímpar, o sinal troca. Zeros do denominador nunca são incluídos na solução (expressão indefinida).
- Para desigualdades “
” ou “ ”, incluir pontos onde o numerador é zero (desde que o denominador não zere aí). Para “>” ou “<” excluir zeros do numerador.
- Encontrar os pontos críticos: zeros de
- Exemplo simples:
. Os críticos são (numerador) e (denominador); testar intervalos dá a solução.
Agora aplico esse método às três desigualdades do enunciado.
Passo 3
Resolvendo a primeira desigualdade
.
- Identificar pontos críticos:
- Numerador
em . - Denominador
em (proibido).
- Dividir a reta pelos pontos
e em intervalos:
- Testar o sinal em cada intervalo (escolhendo pontos fáceis):
- Em
: . Logo o sinal é positivo nesse intervalo. - Em
: . Sinal negativo nesse intervalo. - Em
: . Sinal positivo nesse intervalo.
-
Como a desigualdade é estrita “>,0”, não incluímos pontos onde a expressão é zero (isto é,
fica excluído). Também é excluído por anularem o denominador. -
Conclusão para a primeira:
Passo 4
Resolvendo a segunda desigualdade
.
- Fatorar:
- Identificar pontos críticos:
- Zeros do numerador:
e (neste pontos a fração pode ser e, como é “ ”, serão candidatos a inclusão, desde que o denominador não seja zero aí). - Zeros do denominador:
e (proibidos).
- Ordenar e formar intervalos:
- Determinar sinais por teste em cada intervalo:
- Em
: , fração . - Em
: , fração . - Em
: , fração (negativo/negativo é positivo). - Em
: , fração . - Em
: , fração .
- Incluir/excluir pontos:
- Como a desigualdade é “
”, incluímos os zeros do numerador e (ambos têm denominador não nulo). - Excluímos
porque anulam o denominador.
- Conclusão para a segunda:
Os intervalos em que a fração ésão (inclui , exclui ) e (exclui , inclui ). Portanto
Passo 5
Resolvendo a terceira desigualdade
.
- Identificar fatores e multiplicidades:
- Numerador:
tem zero em com multiplicidade (par), e tem zero em com multiplicidade (ímpar). - Denominador:
anula em (proibido), anula em (proibido).
- Pontos críticos ordenados:
- Observação sobre a multiplicidade:
- Um zero de multiplicidade par (aqui
) não troca o sinal da expressão ao atravessá‑lo — o sinal ao lado esquerdo e direito de será o mesmo, e o valor no ponto será . - Um zero de multiplicidade ímpar (aqui
) troca o sinal.
- Em vez de testar todos os fatores combinados, nota útil:
é sempre e estritamente para . Assim o sinal da fração para é dado por
porque
fora de
.
- Determinar o sinal de
:
- Para
: e produto . - Para
: e produto . - Para
: ambos positivos produto .
- Avaliar sinal da fração em cada intervalo (usando a regra do passo anterior):
- Para
: e fração . - Em
: numerador nulo fração (denominador ), e como é “ ” inclui-se . - Para
: , fração . - Em
: denominador (proibido), excluir. - Para
: , fração . - Em
: numerador (pois ), denominador , fração . Como a desigualdade é “ ”, é incluído. - Para
: , fração . - Em
: denominador (proibido), excluir. - Para
: , fração .
- Juntando os intervalos onde a fração é
:
- Inclui
. - Inclui todo
. - Exclui
. - Em
e o sinal é negativo; apenas é incluido (fração ). - Exclui
. - Inclui
.
- Conclusão para a terceira: