Se A=(-\infty, 3] \cap(-2,5) e B=(-1, \infty) \backslash[2,4), determine A, B, A \cap B, A \cup B e A \backslash B.
6. Considere a reta r: 3 x-2 y+6=0. Escreva r na forma reduzida, determine seu coeficiente angular.

Passo 1

O enunciado dá duas operações com intervalos e uma reta. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
  • Dados:
    • A = (-\infty,3] \cap (-2,5).
    • B = (-1,\infty)\setminus[2,4).
    • Reta r dada por 3x-2y+6=0.
  • Perguntas:
    1. Determinar A.
    2. Determinar B.
    3. Determinar A\cap B.
    4. Determinar A\cup B.
    5. Determinar A\setminus B.
    6. Escrever r na forma reduzida (forma y=mx+b) e determinar seu coeficiente angular.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Breve revisão das operações com intervalos (para usar na prova, passo a passo e sem pular etapas).
  • Interseção de intervalos: o resultado é o intervalo cujo início é o maior dos pontos iniciais e cujo fim é o menor dos pontos finais; atenção para fechar/abrir extremos conforme os intervalos originais. Por exemplo, (a,c)\cap[b,d]=(\max(a,b),\min(c,d)) com inclusão/exclusão dos extremos conforme cada intervalo.
  • Diferença X\setminus Y: elementos de X que não pertencem a Y. Se Y estiver contido parcialmente em X, remove-se essa parte de X, possivelmente criando união de intervalos.
  • União \cup: reúne todos os pontos de ambos os conjuntos; intervalos adjacentes ou sobrepostos podem ser fundidos, caso contrário a união fica como união de intervalos separados.
Guarde essas regras; agora aplico a cada item usando argumentos de extremos e inclusão/exclusão.

Passo 3

Determinar A = (-\infty,3] \cap (-2,5).
  • Olhando para limites: o primeiro intervalo vai até 3 (incluso), o segundo vai de -2 (excluído) até 5 (excluído em -2 só; em 5 é excluído mas isso não importa pois o outro tem limite 3).
  • A interseção começa no maior limite inferior: \max(-\infty,-2) = -2. Como -2 está excluído em (-2,5), o ponto -2 fica excluído.
  • O ponto superior da interseção é o menor limite superior: \min(3,5)=3. O 3 é incluído em (-\infty,3] (colchete) e está dentro de (-2,5), logo 3 permanece incluído.
  • Portanto, A = (-2,3].

Passo 4

Determinar B = (-1,\infty)\setminus[2,4).
  • Primeiro entenda (-1,\infty): todos os números maiores que -1, sem incluir -1.
  • Subtrai-se o intervalo [2,4): todos os números x tais que 2\le x<4 devem ser retirados de (-1,\infty).
  • Assim, B contém os números de (-1,\infty) que não pertencem a [2,4). Isso gera duas “fatias”:
    • A parte de (-1,\infty) antes de 2: (-1,2). Note que 2 pertence a [2,4) e portanto é removido; -1 não pertence a (-1,\infty) então fica excluído.
    • A parte de (-1,\infty) a partir de 4: como 4 não pertence a [2,4) (o intervalo [2,4) exclui 4), o ponto 4 permanece e tudo acima também; isso é [4,\infty).
  • Portanto, B = (-1,2)\cup[4,\infty).

Passo 5

Determinar A\cap B com A = (-2,3] e B = (-1,2)\cup[4,\infty).
  • Interseção com a união: A\cap B = \bigl(A\cap(-1,2)\bigr)\cup\bigl(A\cap[4,\infty)\bigr).
  • Primeiro A\cap[4,\infty): como A tem máximo 3, não há interseção com pontos \ge4. Logo essa parte é vazia.
  • Agora A\cap(-1,2):
    • O início será \max(-2,-1) = -1. Em (-1,2) o -1 é excluído; em A o -1 está incluído (pois A contém todos os pontos entre -2 e 3 inclusive). A interseção deve respeitar a exclusão de -1 proveniente de (-1,2), então -1 fica excluído.
    • O fim será \min(3,2) = 2. Em (-1,2) o 2 é excluído; em A o 2 está incluído. A interseção exclui 2.
    • Portanto A\cap(-1,2)=(-1,2).
  • Assim A\cap B = (-1,2).

Passo 6

Determinar A\cup B com A = (-2,3] e B = (-1,2)\cup[4,\infty).
  • Note que (-1,2) está contido em (-2,3] (pois todo ponto maior que -1 e menor que 2 pertence a A). Assim (-1,2)\subseteq A.
  • Logo a união A\cup B simplifica para A\cup[4,\infty), ou seja: A\cup B = (-2,3]\cup[4,\infty).
  • Observação sobre pontos entre 3 e 4: 3 pertence à união (está em A), 4 pertence (está em B), mas o intervalo (3,4) não pertence a nenhum dos conjuntos, logo permanece um “buraco” entre 3 e 4.

Passo 7

Determinar A\setminus B (elementos de A que não estão em B), com A = (-2,3] e B = (-1,2)\cup[4,\infty).
  • Corte A pelas partes de B: a parte de B que intersecta A é exatamente (-1,2) (já vimos que [4,\infty) não intercepta A).
  • Escrevendo A separado pelas fronteiras -1 e 2:
    • A contém os pontos em (-2,-1),
    • contém o ponto -1,
    • contém (-1,2),
    • contém [2,3].
  • Retirando (-1,2) (a parte de B que está dentro de A), sobram:
    • toda a porção (-2,-1] (note que -1 permanece porque -1\notin B; em B o -1 é excluído),
    • e a porção [2,3] (porque 2 foi removido de B — lembre que 2 pertence a [2,4) então 2 está em B. Atenção: rever isso cuidadosamente).
  • Atenção importante ao ponto 2: verificar pertença. Em B temos (-1,2)\cup[4,\infty); observe que 2 não está em (-1,2) (pois esse é aberto em 2) e 2 também não está em [4,\infty). Portanto 2 NÃO pertence a B. Logo 2 permanece em A\setminus B.
  • Conclusão correta: retiramos apenas (-1,2) (que não contém nem -1 nem 2). Assim A\setminus B é a união das partes de A que ficaram:
    • a parte (-2,-1] (inclui -1),
    • a parte [2,3] (inclui 2 e 3).
  • Portanto A\setminus B = (-2,-1]\cup[2,3].

Passo 8

Agora a reta r: 3x-2y+6=0. Escrever na forma reduzida y=mx+b e identificar o coeficiente angular m.
  • Isolar y: 3x-2y+6=0 \quad\Longrightarrow\quad -2y = -3x-6.
  • Dividindo por -2: y = \frac{-3x-6}{-2} = \frac{3}{2}x + 3.
  • Essa é a forma reduzida. O coeficiente angular (inclinação) é o coeficiente diante de x na forma y=mx+b, aqui m = \frac{3}{2}.
  • O termo independente (ordenada na origem) é b=3, isto é, a reta corta o eixo y em y=3.

Resposta

A = (-2,3]
B = (-1,2)\cup[4,\infty)
A\cap B = (-1,2)
A\cup B = (-2,3]\cup[4,\infty)
A\setminus B = (-2,-1]\cup[2,3]
r:\\ y=\dfrac{3}{2}x+3,\quadcoeficiente angular m=\dfrac{3}{2}

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