Se
e
, determine
e
.
6. Considere a reta
. Escreva
na forma reduzida, determine seu coeficiente angular.
6. Considere a reta
Passo 1
O enunciado dá duas operações com intervalos e uma reta. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
-
Dados:
-
. -
. - Reta
dada por .
-
-
Perguntas:
- Determinar
. - Determinar
. - Determinar
. - Determinar
. - Determinar
. - Escrever
na forma reduzida (forma ) e determinar seu coeficiente angular.
- Determinar
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Breve revisão das operações com intervalos (para usar na prova, passo a passo e sem pular etapas).
- Interseção de intervalos: o resultado é o intervalo cujo início é o maior dos pontos iniciais e cujo fim é o menor dos pontos finais; atenção para fechar/abrir extremos conforme os intervalos originais. Por exemplo,
com inclusão/exclusão dos extremos conforme cada intervalo. - Diferença
: elementos de que não pertencem a . Se estiver contido parcialmente em , remove-se essa parte de , possivelmente criando união de intervalos. - União
: reúne todos os pontos de ambos os conjuntos; intervalos adjacentes ou sobrepostos podem ser fundidos, caso contrário a união fica como união de intervalos separados.
Guarde essas regras; agora aplico a cada item usando argumentos de extremos e inclusão/exclusão.
Passo 3
Determinar
.
- Olhando para limites: o primeiro intervalo vai até
(incluso), o segundo vai de (excluído) até (excluído em só; em é excluído mas isso não importa pois o outro tem limite ). - A interseção começa no maior limite inferior:
. Como está excluído em , o ponto fica excluído. - O ponto superior da interseção é o menor limite superior:
. O é incluído em (colchete) e está dentro de , logo permanece incluído. - Portanto,
Passo 4
Determinar
.
- Primeiro entenda
: todos os números maiores que , sem incluir . - Subtrai-se o intervalo
: todos os números tais que devem ser retirados de . - Assim,
contém os números de que não pertencem a . Isso gera duas “fatias”: - A parte de
antes de : . Note que pertence a e portanto é removido; não pertence a então fica excluído. - A parte de
a partir de : como não pertence a (o intervalo exclui ), o ponto permanece e tudo acima também; isso é .
- A parte de
- Portanto,
Passo 5
Determinar
com
e
.
- Interseção com a união:
. - Primeiro
: como tem máximo , não há interseção com pontos . Logo essa parte é vazia. - Agora
: - O início será
. Em o é excluído; em o está incluído (pois contém todos os pontos entre e inclusive). A interseção deve respeitar a exclusão de proveniente de , então fica excluído. - O fim será
. Em o é excluído; em o está incluído. A interseção exclui . - Portanto
.
- O início será
- Assim
Passo 6
Determinar
com
e
.
- Note que
está contido em (pois todo ponto maior que e menor que pertence a ). Assim . - Logo a união
simplifica para , ou seja: - Observação sobre pontos entre
e : pertence à união (está em ), pertence (está em ), mas o intervalo não pertence a nenhum dos conjuntos, logo permanece um “buraco” entre e .
Passo 7
Determinar
(elementos de
que não estão em
), com
e
.
- Corte
pelas partes de : a parte de que intersecta é exatamente (já vimos que não intercepta ). - Escrevendo
separado pelas fronteiras e : -
contém os pontos em , - contém o ponto
, - contém
, - contém
.
-
- Retirando
(a parte de que está dentro de ), sobram: - toda a porção
(note que permanece porque ; em o é excluído), - e a porção
(porque foi removido de — lembre que pertence a então está em . Atenção: rever isso cuidadosamente).
- toda a porção
- Atenção importante ao ponto
: verificar pertença. Em temos ; observe que não está em (pois esse é aberto em ) e também não está em . Portanto NÃO pertence a . Logo permanece em . - Conclusão correta: retiramos apenas
(que não contém nem nem ). Assim é a união das partes de que ficaram: - a parte
(inclui ), - a parte
(inclui e ).
- a parte
- Portanto
Passo 8
Agora a reta
. Escrever na forma reduzida
e identificar o coeficiente angular
.
- Isolar
: - Dividindo por
: - Essa é a forma reduzida. O coeficiente angular (inclinação) é o coeficiente diante de
na forma , aqui - O termo independente (ordenada na origem) é
, isto é, a reta corta o eixo em .