Resolva
e interprete a solução como comparação de distâncias na reta real.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede duas coisas:
- Resolver a desigualdade, isto é, encontrar todos os valores de
que a satisfazem. - Interpretar a solução como comparação de distâncias na reta real.
Informações relevantes que temos:
- O membro esquerdo
representa a distância entre e na reta real. - O membro direito
pode ser reescrito como , que é duas vezes a distância entre e .
Passo 2
Por que podemos manipular a desigualdade elevando ao quadrado?
Tanto quanto
são números não negativos, logo a operação “elevar ao quadrado” preserva a ordem: para
, temos
. Assim é seguro passar para
Tanto
Passo 3
Subtraindo
dos dois lados e usando a fatoração diferença de quadrados, obtemos
Usando
com
e
, calculamos os fatores:
Portanto
Passo 4
Multiplicando por
(o que inverte o sinal da desigualdade) obtemos a forma mais simples
As raízes dos fatores são
e
. Uma função polinomial do segundo grau com coeficiente líder positivo (aqui
) é negativa ou nula entre as raízes. Logo a desigualdade
é satisfeita exatamente para os
entre as raízes, inclusive as raízes:
Como verificação rápida, tomando
(que está entre as raízes) temos
, então
pertence à solução; nos extremos
e
a desigualdade original dá igualdade (confira: em
temos
e
; em
temos
e
).
Passo 5
Interpretação geométrica em termos de distâncias na reta real.
Escrevendo , a desigualdade original é equivalente a
Escrevendo
Isto se lê: "a distância do ponto
até
é maior ou igual ao dobro da distância do ponto
até
". A solução encontrada, o intervalo
, é justamente o conjunto de pontos na reta real que satisfazem essa relação entre distâncias. Nos extremos
e
as duas distâncias são iguais (então a distância a
é exatamente o dobro da distância a
nesses pontos).
Resposta
Interpretação: conjunto de todos os