Resolva
|x-2| \geq|2 x+1|
e interprete a solução como comparação de distâncias na reta real.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
|x-2| \geq |2x+1|
e pede duas coisas:
  • Resolver a desigualdade, isto é, encontrar todos os valores de x que a satisfazem.
  • Interpretar a solução como comparação de distâncias na reta real.
Informações relevantes que temos:
  • O membro esquerdo |x-2| representa a distância entre x e 2 na reta real.
  • O membro direito |2x+1| pode ser reescrito como 2|x+\tfrac{1}{2}|, que é duas vezes a distância entre x e -\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Por que podemos manipular a desigualdade elevando ao quadrado?
Tanto |x-2| quanto |2x+1| são números não negativos, logo a operação “elevar ao quadrado” preserva a ordem: para a,b\ge0, temos a\ge b \iff a^2\ge b^2. Assim é seguro passar para
(x-2)^2 \ge (2x+1)^2.

Passo 3

Subtraindo (2x+1)^2 dos dois lados e usando a fatoração diferença de quadrados, obtemos
(x-2)^2 - (2x+1)^2 \ge 0.
Usando (A^2-B^2)=(A-B)(A+B) com A=x-2 e B=2x+1, calculamos os fatores:
A-B = (x-2)-(2x+1)= -x-3 = -(x+3),
A+B = (x-2)+(2x+1)=3x-1.
Portanto
(x-2)^2 - (2x+1)^2 = -(x+3)(3x-1) \ge 0.

Passo 4

Multiplicando por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade) obtemos a forma mais simples
(x+3)(3x-1) \le 0.
As raízes dos fatores são x=-3 e x=\tfrac{1}{3}. Uma função polinomial do segundo grau com coeficiente líder positivo (aqui 3x^2+\dots) é negativa ou nula entre as raízes. Logo a desigualdade (x+3)(3x-1)\le0 é satisfeita exatamente para os x entre as raízes, inclusive as raízes:
-3 \le x \le \tfrac{1}{3}.
Como verificação rápida, tomando x=0 (que está entre as raízes) temos (0+3)(-1)=-3\le0, então 0 pertence à solução; nos extremos x=-3 e x=\tfrac{1}{3} a desigualdade original dá igualdade (confira: em x=-3 temos |-3-2|=5 e |2(-3)+1|=5; em x=\tfrac{1}{3} temos |\tfrac{1}{3}-2|=\tfrac{5}{3} e |2\cdot\tfrac{1}{3}+1|=\tfrac{5}{3}).

Passo 5

Interpretação geométrica em termos de distâncias na reta real.
Escrevendo |2x+1| = 2|x+\tfrac{1}{2}|, a desigualdade original é equivalente a
|x-2| \ge 2\,|x+\tfrac{1}{2}|.
Isto se lê: "a distância do ponto x até 2 é maior ou igual ao dobro da distância do ponto x até -\tfrac{1}{2}". A solução encontrada, o intervalo [-3,\tfrac{1}{3}], é justamente o conjunto de pontos na reta real que satisfazem essa relação entre distâncias. Nos extremos x=-3 e x=\tfrac{1}{3} as duas distâncias são iguais (então a distância a 2 é exatamente o dobro da distância a -\tfrac{1}{2} nesses pontos).

Resposta

[-3,\tfrac{1}{3}]
Interpretação: conjunto de todos os x tais que a distância de x a 2 é maior ou igual ao dobro da distância de x a -\tfrac{1}{2}.

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