Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas: a expressão dentro do piso é
e o piso (função parte inteira para baixo) desse número deve ser igual a
.
Passo 2
O que significa a notação
? Vou explicar bem devagarinho porque isso é o ponto principal:
- Para qualquer número real
, (chamado de “função piso”) é o maior inteiro que não é maior que . Em outras palavras,
onde
é um número inteiro.
Exemplos rápidos para fixar:
-
porque . -
porque (atenção: piso “desce” para o inteiro mais baixo). -
porque .
Bom — agora que lembramos a definição, aplicamos ao nosso caso com
.
Passo 3
Usando a equivalência da definição do piso para
e valor
, escrevemos a desigualdade correspondente:
Essa desigualdade é exatamente a tradução da afirmação
.
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade em três passos claros e bem explicados.
- Primeira operação: somar
em todas as partes para isolar o termo com :
ou seja
- Segunda operação: dividir tudo por
(divisão por número positivo preserva as desigualdades):
- Simplificando as frações:
Pronto — essa é a faixa de valores de
que satisfazem a desigualdade.
Passo 5
Verificação rápida das fronteiras e de um ponto interior — sempre bom para evitar ciladas na prova:
- Teste
: e . Então está incluído (o intervalo é fechado à esquerda). - Teste
: e . Logo não está incluído (intervalo aberto à direita). - Teste um ponto interior, por exemplo
: , . Funciona.
Passo 6
Escrevendo a solução de forma padrão:
- Em notação de intervalo:
. - Em notação de conjunto:
.
Dica rápida para a prova: sempre transforme
em
e resolva a desigualdade normalmente — é o método mais direto e rápido.