Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\lfloor 2 x-1\rfloor=3

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
\lfloor 2x-1\rfloor = 3.
Informações dadas: a expressão dentro do piso é 2x-1 e o piso (função parte inteira para baixo) desse número deve ser igual a 3.

Passo 2

O que significa a notação \lfloor \cdot\rfloor? Vou explicar bem devagarinho porque isso é o ponto principal:
  • Para qualquer número real y, \lfloor y\rfloor (chamado de “função piso”) é o maior inteiro que não é maior que y. Em outras palavras,
\lfloor y\rfloor = n \quad\Longleftrightarrow\quad n\le y < n+1,
onde n é um número inteiro.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \lfloor 2{,}7\rfloor = 2 porque 2\le 2{,}7<3.
  • \lfloor -1{,}2\rfloor = -2 porque -2\le -1{,}2 < -1 (atenção: piso “desce” para o inteiro mais baixo).
  • \lfloor 3\rfloor = 3 porque 3\le 3 < 4.
Bom — agora que lembramos a definição, aplicamos ao nosso caso com y=2x-1.

Passo 3

Usando a equivalência da definição do piso para y=2x-1 e valor 3, escrevemos a desigualdade correspondente:
3 \le 2x-1 < 4.
Essa desigualdade é exatamente a tradução da afirmação \lfloor 2x-1\rfloor=3.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade em três passos claros e bem explicados.
  1. Primeira operação: somar 1 em todas as partes para isolar o termo com x:
3+1 \le 2x-1+1 < 4+1,
ou seja
4 \le 2x < 5.
  1. Segunda operação: dividir tudo por 2 (divisão por número positivo preserva as desigualdades):
\frac{4}{2} \le x < \frac{5}{2}.
  1. Simplificando as frações:
2 \le x < \tfrac{5}{2}.
Pronto — essa é a faixa de valores de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 5

Verificação rápida das fronteiras e de um ponto interior — sempre bom para evitar ciladas na prova:
  • Teste x=2: 2x-1 = 4-1 = 3 e \lfloor 3\rfloor = 3. Então x=2 está incluído (o intervalo é fechado à esquerda).
  • Teste x=\tfrac{5}{2}=2{,}5: 2x-1 = 5-1 = 4 e \lfloor 4\rfloor = 4\neq 3. Logo x=\tfrac{5}{2} não está incluído (intervalo aberto à direita).
  • Teste um ponto interior, por exemplo x=2{,}2: 2x-1 = 4{,}4-1 = 3{,}4, \lfloor 3{,}4\rfloor = 3. Funciona.

Passo 6

Escrevendo a solução de forma padrão:
  • Em notação de intervalo: [2,\tfrac{5}{2}).
  • Em notação de conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x<\tfrac{5}{2}\}.
Dica rápida para a prova: sempre transforme \lfloor \text{algo}\rfloor = n em n\le \text{algo} < n+1 e resolva a desigualdade normalmente — é o método mais direto e rápido.

Resposta

[2,\tfrac{5}{2})

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