Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\lfloor x\rfloor=5

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação \lfloor x\rfloor = 5.
Informações dadas:
  • A incógnita é x, um número real.
  • A função usada é a função piso (parte inteira inferior) representada por \lfloor \cdot\rfloor.
  • A equação fixa o valor da parte inteira de x igual a 5.

Passo 2

Vamos lembrar, em linguagem simples, o que significa a notação \lfloor x\rfloor.
Definição (parte inteira inferior, “piso”): para qualquer número real x, \lfloor x\rfloor é o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Em outras palavras, \lfloor x\rfloor é um inteiro n tal que
n \le x < n+1.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se x=5{,}2 então \lfloor x\rfloor = 5 porque 5 \le 5{,}2 < 6.
  • Se x=5 então \lfloor x\rfloor = 5 porque 5 \le 5 < 6.
  • Se x=6 então \lfloor x\rfloor = 6 porque 6 \le 6 < 7.
  • Se x=4{,}99 então \lfloor x\rfloor = 4 porque 4 \le 4{,}99 < 5.

Passo 3

Usemos a definição para traduzir a equação \lfloor x\rfloor = 5 em desigualdades.
Pela definição, afirmar que \lfloor x\rfloor = 5 equivale a dizer que 5 é o maior inteiro menor ou igual a x. Logo devemos ter
5 \le x < 6.
Vou explicar por partes:
  • 5 \le x porque a parte inteira é um inteiro menor ou igual a x.
  • x < 6 porque, se x fosse maior ou igual a 6, então 6 seria um inteiro menor ou igual a x e maior que 5, contradizendo que a parte inteira é exatamente 5.
Também é fácil verificar a implicação reversa: se 5 \le x < 6, então o maior inteiro menor ou igual a x é exatamente 5. Portanto a condição é equivalente às desigualdades acima.

Passo 4

Expressando o conjunto solução de forma padrão, temos
\{x\in\mathbb{R}\mid 5\le x<6\}.
Em notação de intervalos, isso é o intervalo
[5,6).

Passo 5

Alguns exemplos para reforçar e te dar confiança:
  • x=5 pertence à solução e satisfaz \lfloor 5\rfloor = 5.
  • x=5{,}73 pertence à solução e satisfaz \lfloor 5{,}73\rfloor = 5.
  • x=6 não pertence, porque \lfloor 6\rfloor = 6, não 5.
  • x=4{,}999 também não pertence, porque \lfloor 4{,}999\rfloor = 4.
Força aí — essa é uma das propriedades mais usadas nas provas: traduzir \lfloor x\rfloor = n imediatamente para n \le x < n+1.

Resposta

[5,6)

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