Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
.
Informações dadas:
- A incógnita é
, um número real. - A função usada é a função piso (parte inteira inferior) representada por
. - A equação fixa o valor da parte inteira de
igual a .
Passo 2
Vamos lembrar, em linguagem simples, o que significa a notação
.
Definição (parte inteira inferior, “piso”): para qualquer número real
,
é o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Em outras palavras,
é um inteiro
tal que
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se
então porque . - Se
então porque . - Se
então porque . - Se
então porque .
Passo 3
Usemos a definição para traduzir a equação
em desigualdades.
Pela definição, afirmar que
equivale a dizer que
é o maior inteiro menor ou igual a
. Logo devemos ter
Vou explicar por partes:
-
porque a parte inteira é um inteiro menor ou igual a . -
porque, se fosse maior ou igual a , então seria um inteiro menor ou igual a e maior que , contradizendo que a parte inteira é exatamente .
Também é fácil verificar a implicação reversa: se
, então o maior inteiro menor ou igual a
é exatamente
. Portanto a condição é equivalente às desigualdades acima.
Passo 4
Expressando o conjunto solução de forma padrão, temos
Em notação de intervalos, isso é o intervalo
Passo 5
Alguns exemplos para reforçar e te dar confiança:
-
pertence à solução e satisfaz . -
pertence à solução e satisfaz . -
não pertence, porque , não . -
também não pertence, porque .
Força aí — essa é uma das propriedades mais usadas nas provas: traduzir
imediatamente para
.